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Per porre fuor di dubbio l'esistenza di infinite classi di superficie Fuchsiane 
consideriamo nei seguenti nn. 16-19 il caso di un contorno di Schwarz formato da 
due tratti rettilinei e da un piano. In fine, supponendo che il contorno sia tutto costi- 
tuito di tratti rettilinei, dimostreremo che ogni gruppo Fuchsiano (simmetrico) della 
1° famiglia dà sempre origine a un certo numero di superficie Fuchsiane. 
16. Sia dato un contorno Y di Schwarz formato da due tratti rettilinei e da un 
piano; la porzione di superficie X, integrale dalla (1), limitata a questo contorno, 
avrà per immagine sul semi-piano positivo della variabile complessa © (n. 15) un 
triangolo ABC i cui lati sono archi di circolo coi centri sull'asse reale. Per fissare 
le idee, supporremo che i due tratti rettilinei del contorno Y siano rappresentati dai 
lati AB, AC. Se indichiamo con È 
i valori degli angoli in A, B, C del triangolo, dovendo essere la somma di questi 
angoli minore di due retti, sarà: 
Il 1 Il 
B spal 
(B) suna 
Inversamente, se 4, d, c sono tre numeri reali che soddisfano la diseguaglianza 
S . O Ò o MW MW . 
(B) esiste sulla pseudosfera un triangolo geodetico cogli angoli O SEIT 
7) 
dendo da movimenti della pseudosfera in sè medesima, esso è perfettamente deter- 
minato. Affinchè il triangolo ABC, per successive riflessioni, generi una rete Fuchsiana 
è necessario e sufficiente (Poincaré, l.c. p. 37) che i numeri 4, d, © siano interi, il 
che appunto supporremo. 
L'immagine della stessa porzione di superficie X sul piano complesso o sarà un 
triangolo rettangolo isoscele A" B' C' colla ipotenusa B' C' parallela all'asse reale. 
Secondo il metodo generale del n. 15, per trovare la nostra superficie X basterà pren- 
dere per o quella tale funzione di © che effettua la rappresentazione conforme del 
triangolo rettilineo A' B' 0’ sul triangolo ad archi di circolo ABCO. Perciò rappresen- 
tiamo in modo conforme l'uno e l'altro triangolo sul semi-piano positivo di una varia- 
bile complessa ausiliaria w in guisa che il contorno del triangolo venga a corrispon- 
dere ‘all'asse reale sul piano %w. Per determinare completamente la funzione <0 di @ 
o di o basterà in fine fissare che ai tre vertici del triangolo corrispondano tre deter- 
minati valori reali di 0; noi supporremo: 
in A0À' w=0 
ima 00 
m)ìoo = 
Dalle note ricerche di Schwarz-Christoffel sulla rappresentazione conforme di un 
poligono rettilineo sul mezzo piano segue che o si esprime per w colla formola 
Ci 
or (7 DI 
w*(1—- w)* 
dove T è una costante. E poichè la funzione 
Gole 
dee w(1— WE 
