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risulta chiaramente che sarà evitata per la funzione F(©) ogni singolarità nel semi- 
piano positivo (l’asse reale escluso), quando ai numeri interi 4, è, € s' impongano le 
condizioni seguenti : 
(D) 1° d sia pari 
DIS Viva di=d 0A @ZSA: 
Soddisfatte queste condizioni, sarà pure soddisfatta la diseguaglianza (B), purchè 
si intenda esclusa la combinazione dei valori estremi 
@a=Bd, 04, es: 
Ora supponiamo inversamente che 4, d, c siano tre numeri interi, assoggettati sol- 
tanto alle condizioni (D), e costruita la corrispondente rete Fuchsiana e la conseguente 
funzione Fuchsiana w di w dimostriamo che le formole (3) ci daranno una superficie 
Fuchsiana. Per quanto si è visto sopra le funzioni di ©, che compariscono sotto il 
segno integrale nelle (3), in tutto il semipiano positivo (l’asse reale escluso) saranno 
finite continue e monodrome. La superficie X, rappresentata dalle (3), avrà dunque 
dappertutto il carattere di superficie algebrica e sarà priva di punti singolari. 
Resta soltanto da verificarsi che ogni porzione di superficie X, corrispondente ad 
uno qualunque dei triangoli della rete Fuchsiana, ha realmente un contorno costi- 
tuito da due tratti rettilinei e da un segmento di curva piana, il cui piano è nor- 
male alla superficie. Basterà fare questa verifica pel triangolo ABC, ogni altro trian- 
golo della rete trovandosi nelle medesime condizioni (!). 
18. Supponiamo adunque che nelle formole (3) l'indice del limite superiore w 
percorra un lato del triangolo ABC. Facciamo la sostituzione lineare 
| cQ+- È 
(4) na yA+- d 
a coefficienti reali e a determinante @d — #y = 1, in guisa che mentre l’ indice di @ 
percorre l'arco di circolo in questione, l'indice di « percorra un tratto dell'asse im- 
maginario, ciò che è sempre possibile. Colla sostituzione (4) le (3) diventano 
dir ra ) di 
de ° 
— cp) 
(3°) <y= KR + 
w(1_-w) 
(RA + d)? 4 (2, B)? (al 10. 
(cQ4- 8) (y2+0) È i Lo 
da 
2, w(1- w0) 
Basterà ora supporre qui £ puramente immaginario, poniamo 
Q=(% 
(1) N. B. Le verifiche del seguente numero valgono anche se 4,4, c non sono numeri interi : 
soltanto la corrispondente superficie 2 non sarebbe più una superficie Fuchsiana, 
