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e le formole che danno la porzione di superficie richiesta X sono quindi: 
| (0) 
gp 1—-w? ca) 
seni 
dei 20 e) 
‘neo I) va-gA-Ey) a iù 
find p(1-W)(1-X°w) (o LO, 
dove 4 è una costante reale. 
Come al n. 18 si verificherà che se l'indice del limite superiore © nelle for- 
mole (11) si muove entro il quadrilatero ABCD, la porzione di superficie X° rappre- 
sentata è realmente contornata da un quadrilatero sghembo. 
Supponiamo ora che il quadrilatero ABCD sia il semi-poligono generatore di un 
gruppo Fuchsiano. Indicando con 
TT TT IT IT 
Gi e d 
gli angoli in A, B, C, D del quadrilatero, la condizione necessaria e sufficiente per- 
chè ciò accada è che «, d, c, d siano numeri interi. E siccome in tal caso ciascuno 
di essi è almeno eguale a 2, la funzione F(©) in tutto il semipiano positivo (l'asse) 
reale escluso) sarà finita, continua e monodroma (1). 
Dunque: Ad ogni rete Fuchsiana composta di quadrilateri (della 
1% famiglia) corrisponde sempre una superficie Fuchsiana. 
Il caso considerato ai numeri precedenti 16, 19 rientra naturalmente nell'attuale. 
Basta supporre che il quadrilatero ABCD sia simmetrico rispetto alla diagonale BD. 
Allora il rettangolo del piano o diventa un quadrato e il modulo % dell’ integrale ellit- 
tico (10) acquista il valore 
= va . 
V2 
Paragonando la funzione w delle formole (11) colla funzione w delle (8) ed esa- 
minando la diramazione di w rapporto a w, si trova subito 
w=y(2—-%y) 
e con tale sostituzione effettivamente le (3) si cangiano nelie (11). 
Già da questi semplici esempî si vede quanto più ricca è la classe delle super- 
ficie Fuchsiane in confronto della classe analoga fra le superficie ordinarie minime. 
Mentre fra queste ultime, come Schwarz ha dimostrato, ve ne sono cinque soltanto 
costituite da infiniti quadrilateri curvi, e tali che ogni porzione finita di spazio con- 
tenga solo un numero finito di essi, di superficie Fuchsiane composte di quadrilateri 
curvi ve ne ha invece un numero infinito. 
(1) E infatti gli ordini d'infinito di F (w) nei vertici della rete rispettivamente omologhi ad 
A, B, C, D sono dati dai numeri negativi o nulli: 2— a, 2—4,2— ce, 2—-d. 
