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e per ogni valore assegnato 4 » si ha un certo numero di possibili configurazioni del 
poligono A ne concludiamo: 
Ad ogni gruppo Fuchsiano simmetrico della 1° famiglia corri- 
sponde sempre un certo numero di superficie Fuchsiane. 
STAVE 
Le superficie a curvatura costante dello spazio S. 
22. Passiamo ora a trattare delle superficie a curvatura costante dello spazio $, 
il quadrato del cui elemento lineare è dato da 
(1) ds'i— da%+ dy? — de?, 
Per valore della curvatura K di una superficie nello spazio S intendiamo quello 
che compete alla forma differenziale (1) quando «, y, sono legate fra loro dalla 
equazione della superficie. Le formole (9) (9*) del $ II dimostrano che si ha 
K=& slo i 
PP9 
secondo che la superficie è di 1% o di 2* specie. 
Cominciamo a considerare le superficie a curvatura costante positiva K e per 
semplicità poniamo K=-+1. Se la superficie è di 1* specie avremo 
AR = = Jl 
e indicando con w una variabile ausiliaria potremo porre 
To = C000, meigo. 
Riferendo, come al $ II, la superficie alle sue linee di curvatura le formole gene- 
rali (17) n. 9 ci danno 
VE =cos0  G=sen0, 
dopo di che la (9) S II si muterà nella seguente equazione alle derivate parziali per @ 
dim d°w 
(2) DE TO 
+ sen w coso = 0). 
Inversamente, per quanto si disse alla fine del n. 8, ad ogni soluzione © di 
questa equazione corrisponderà una superficie di 1 specie a curvatura K=-+- 1, 
il cui elemento lineare, riferito alle linee di curvatura, prenderà la forma : 
(3) ds? = costo du? + sen?w dv? 
e i cui raggi principali di curvatura saranno dati da 
(4) Ya = cow rr=—tgo. 
Se la superficie X a curvatura costante K=++1 è di 2* specie, si avrà: 
Pr = HE 1 
e indicando con 0 una variabile ausiliaria potremo porre 
f, = coth 0 r,=tgh0. 
Con calcoli perfettamente simili ai precedenti troveremo per l’attuale superficie X 
le formole 
(5) ds? = cosh? 6du? — senh® 0dv? 
(6) Vo == coth @ , P, = tgh 6 
2 20 
(7) 3A SIE senh @ cosh@ — 0. 
DU? QD 
