— 577 — 
Ad ogni soluzione della equazione a derivate parziali (7) viene così a corrispon- 
dere una superficie di 2* specie a curvatura K=-+1. 
23. Colle sostituzioni 
VU VA 
peTa' ge == 
22 22 
le equazioni (2) (7) si riducono alle (F') (D') del n. 4, cioè 
DE d?6 
e sen2@, È = senh 20. 
IL WY dd dY 
Abbiamo visto al n. 4 come, nota una soluzione di queste equazioni, si possa 
trovarne delle nuove, integrando il sistema completo (F) o (D). Nelle attuali varia- 
bili %, v queste formole prendono l'aspetto seguente. Nota una soluzione @ della (2), 
se ne ottiene una nuova integrando il sistema completo : 
d I do cos g sen w -+- Seno sen go COS @ 
DI DIO coso 
(8) 
dg do sen g COS © + seno cos gp sen @ 
do coso 
dove o è una costante arbitraria. 
Similmente da una soluzione nota @ della (7) se ne ottiene una nuova g inte- 
grando il sistema completo 
dg, dI cosh g senh9 + sen o senh g cosh 6 
84) \ da da coso 
| Î dd O senh g cosh9 + seno cosh g senh 6 
dd cos o 
A questa nuova soluzione g della (2) o della (7), che contiene, oltre o, una 
costante arbitraria C, corrisponderà una superficie 2°, di 1% o 2* specie, a curvatura 
K=+1. Vogliamo ora esaminare la dipendenza geometrica della nuova superficie 3° 
dalla iniziale ® e dimostrare che essa è precisamente la stessa come nel caso di due 
superficie pseudosferiche dello spazio euclideo, derivate l'una dall'altra per trasfor- 
mazione di Baecklund (M. A $ 9). Dimostreremo cioè che le superficie ®, 2” sono le 
due superficie focali di un sistema di raggi e la distanza che intercede fra un punto 
F (fuoco) della X e il punto corrispondente F' della 2", misurata nella determinazione 
metrica dello spazio S. è costante. 
24. Indichiamo con (4, y,) le coordinate di F e con (4° y') quelle di F'. 
Supponiamo dapprima che X e quindi anche 2° sia di 1% specie; sia w la soluzione 
della (2) corrispondente a X e g quella corrispondente a 2°, legata ad @ dalle (8). 
Mantenendo tutte le notazioni del S Il verificheremo che 4", y', <' sono date dalle 
formole 
x = — coto (cosg X, + seng Xp) 
(9) y=y— coto.(cosg Y, + sen g Y3) 
| 3 = — coto (cos pZ, + sen g Zo) 
CLASSE DI SCIENZE FISICHE ecc. — MemorIE — Ser. 4%. Vol. V°. 73 
