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con w l'angolo che le due normali in F, F' alle X, X° rispettivamente formano fra di 
loro, si può scrivere (vedi Nota al n. 5) 
cosh w = 
seno 
e dimostra che l'angolo w delle due normali è costante. 
Derivando le (0), avendo riguardo alle precedenti, si trova 
dX3 SN, dei DE II da 
du eni een 
e analogamente per Yz, Z3. Se ne conclude che sulla superficie x° le linee %, v 
sono, come sulla ®, le linee di curvatura e i raggi principali di curvatura sono dati da 
o =—=igp 0.= 00%. 
Sopra le superficie X, 2° si corrispondono inoltre le linee assintotiche, le cui 
equazioni sono (n. 10) 
u—-v= coste, + v = cost 
e gli archi corrispondenti di assintotiche sono eguali (Cf. M. A $ 9). 
Analogamente se si tratta di passare da una superficie X di 2* specie, corrispon- 
dente ad una soluzione 0 della (7) all'altra superficie 2° corrispondente ad una nuova 
soluzione g della (7), legata a 0 dalle (8*), potremo verificare che le coordinate 4°, y°, e 
di ogni punto F' della 2° corrispondente ad un punto F == (+, y, <) della X, sono date 
dalle formole 
\ e =a—coto(coshgX, + senh pX») 
y— coto (coshgY, + senhgY.) 
| 3" ==4 — coto (coshyZ, + senhgZs). 
E infatti derivando queste ultime col tener conto delle (10*) n. 8, si trova 
dae? 4- dy'* — de? = cosh*g du? — senh*g do. 
Come nel caso delle superficie di 1% specie si verificherà anche qui che x, x° 
sono le superficie focali del sistema di raggi FF" e che sopra X, 2" le linee di cur- 
vatura si corrispondono. Quanto alle linee assintotiche, esse sono nel caso attuale 
immaginarie. 
Vediamo adunque che la trasformazione, analiticamente rappresentata dalle for- 
mole (8) o (8*), per le superficie a curvatura costante K==-{ 1 dello spazio S è 
l’analoga della trasformazione di Backlund per le superficie pseudosferiche dello spazio 
euclideo, con questa differenza però, che nel caso presente tale trasformazione non si 
riduce mai ad una trasformazione complementare cioè il sistema di raggi FF' non 
ammette, per alcun valore speciale di o, superficie ortogonali ('). 
25. Consideriamo ora nello spazio S le superficie a curvatura costante negativa K 
e poniamo per semplicità K = — 1. A queste superficie conserveremo il nome di super- 
ficie pseudosferiche. Procedendo come al n. 22 e riferendo la superficie pseudosferica X 
alle sue linee di curvatura %,v dalle formole generali del S II si otterranno per la 
superficie X i risultati seguenti. 
I 
(1) Se ciò potesse accadere si dovrebbe avere infatti 
XE Xi iù Ve Via 1 Ie, 76 = 
seno 
