— 980 — 
Se la superficie è di 1* specie, il suo elemento lineare prenderà la forma 
(10) ds? = cosh°0 du? + senh°0 do*, 
dove 06 è una soluzione della equazione a derivate parziali 
0%: D°0 
(11) plaza senh 0 cosh @ 
e i raggi di curvatura saranno dati da : 
(12) r,= tgh@ f,= cothé. 
Inversamente ad ogni soluzione @ della (11) corrisponderà una superficie pseudo- 
sferica X di 1* specie, per la quale sussisteranno le (10), (12). 
Se la superficie è di 2 specie, il suo elemento lineare prenderà la forma 
(10*) ds° = cos°w du? — sen? @dv®, 
dove w soddisfa l'equazione : 
11*) do O 
3 7 = Seno c080 
( QUE dU° 
e 7,7 sono dati da 
(12*) Ti==i901 ra = 000. 
Inversamente ogni soluzione © della (11*) darà una tale superficie. 
Al n. 2 $S I abbiamo dimostrato come fra le soluzioni delle (11), (11*) si possa 
stabilire una dipendenza espressa dalle formole 
do 29 
—— <= cosa senh @ coso — sena cosh 0 seno 
19 du dv 
- = sena senh 6 coso + cose cosh @ sen, 
dv du 
dove @ è una costante arbitraria, in guisa che se 9 è una soluzione della (11). le 
equazioni simultanee (13) rispetto ad « sono compatibili e integrate danno per @ una 
soluzione della (11*) contenente, oltre «, una costante arbitraria. Inversamente se 
nelle (13) si sostituisce per èw un integrale della (11*), l' integrale @ delle (13) sod- 
disfa la (11). 
Cerchiamo ora l’ interpretazione geometrica delle formole (13) per quanto si rife- 
risce alle superficie pseudosferiche di 1% o 2* specie dello spazio S. 
26. Sia X una superficie psendosferica di 1 specie corrispondente ad una soluzione @ 
della (11) e 2° la superficie pseudosferica di 2* specie corrispondente a quella soluzione © 
della (11%) che si ottiene integrando le (!3). Dimostreremo che se per ogni punto F 
della X si tira nel piano tangente in F una retta inclinata dell'angolo © sulla linea 
. A TRIS 
di curvatura v = cost'° e sopra di essa si stacca un segmento FE' — ia) il luogo 
14 
degli estremi F' sarà la superficie 2°. 
ndican To 06 ‘oordi i cy, quelle di E’, la costru- 
Indicando con #, y, le coordinate di F, con 4°, y,< q , 
zione geometrica sopra riferita si traduce analiticamente nelle formole 
gi =@= l AN gi 
sene È 
i 
1 
- 
‘cos Y, + sen Y, 
sen a È 
SAVI 
(14) ly=y— 
t/ 
GI ts 6 
6 == ») 
» 
) 
| 
) 
— ‘ cos Zi + sen © Zo 
sen a ( \ 
sulle quali dovremo fare le opportune veritiche. 
