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Per quanto sopra si è visto la trasformazione, analiticamente espressa dalle (13), 
rappresenta per le superficie pseudosferiche dello spazio S la trasformazione di Bi- 
IT 0 . 
cklund, mentre per a = 9 0888 diventa la {rasformazione complementare. 
In quest’ ultimo caso avendosi 
209 IO) 
\ Forlani i n senh 6 cos w 
(16) 
90 IO) 
== <7= cosh0!cos w 
dU du 
si vede che l'espressione 
cosh 0 cos w du + senh 6 sen @ do 
è un differenziale esatto. Se poniamo 
y= f (cost 8 coso du + senh 6 sen dv) 
sono altresì differenziali esatti le espressioni 
eV ) cosh 6 sen du — senh 6 cos @ dv 
) 
senh @ cos @ du + cosh £ sen w do | 
e chiamando #,y le funzioni di %, © loro integrali risulterà : 
cosh?9 du? + senh?9 do? = dyw? + e24 dp? 
cos°® du? — seno dv? = dw? — e? dy?, 
le quali formole pongono in evidenza la riduzione dell'elemento lineare delle super- 
ficie pseudosferiche complementari X, 2” alla forma geodetica ('). 
27. Consideriamo ora tutte le superficie pseudosferiche complementari di una data 
superficie pseudosferica X e dimostriamo che esse fanno parte di un sistema triplo di 
superficie ortogonali (sistema ciclico di Ribaucour). 
Sia p. e. X una superficie pseudosferica di 1% specie corrispondente ad una solu- 
zione 9 della (11); l'integrale © delle (16) contiene una costante arbitraria che indi- 
cheremo con w e per ogni valore speciale di w le formole 
| e = a — cosmX, — senwX, 
il 
e% 
y=y— cosoY, — senmY, 
gs =%— c080Z, — senoZy 
danno una superficie pseudosferica complementare (di 2* specie). Le formole (15), 
TESGUIINE 
pera=s, diventano 
da 5 - 
\ catia cosh 0 cos? X, + cosh 6 sen @ cos w X, ++ senh 0 cos w X, 
DU 
da È Si 
rito senh 0 sen @ cos @ X, + senh # sen?w X, + cosh @ sen w X3 
dV 
e d'altra parte derivando le precedenti rapporto a w otteniamo 
da o) 
—_ _ (senmX, — coso X,)- 
dwW Ò 
(1) Darboux, Comptes rendus de l’Académie, T. XCVII, ottobre 1883, 
