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Se per determinare la posizione di un punto («", y°, #°) nello spazio S prendiamo 
per variabili indipendenti «, v, 7% risulterà dunque pel quadrato dell'elemento lineare 
la formola 
r9 rs UG D) 9 p dò 5 2 î 
(17) ds? = da'? 4- dy'®? — de? — coso du? — sen?@ dv* + (S a) dwî . 
du 
Questa pone appunto in evidenza che le superficie pseudosferiche 
w = coste 
complementari della X formano insieme colie « = costt® 0 = cost! un sistema triplo 
ortogonale. Le traiettorie ortogonali delle superficie pseudosferiche w = cost'° sono 
evidentemente circoli di raggio =1, tracciati nei piani tangenti della superficie £, 
col centro nel punto di contatto. 
Del tutto simile è il risultato se la superficie pseudosferica iniziale X è di 
2* specie. In tal caso se essa corrisponde ad una soluzione © della (11*) e 6 è l'’inte- 
grale delle (16), contenente la costante arbitraria w, per l'elemento lineare dello 
spazio S, riferito al corrispondente sistema ciclico di Ribaucour, si trova 
2 
(di70) ds® = cosh°0 du? + senh*0 d0° — o dw® . 
S VI. 
Sistemi di Weingarten a curvatura positiva nello spazio S. 
28. Dopo esserci accertati nel n. precedente della esistenza dei sistemi ciclici 
di Ribaucour nello spazio S, andiamo ora a trattare in modo generale il problema 
enunciato nella prefazione, cioè a ricercare tutti i possibili sistemi tripli di super- 
ficie ortogonali nello spazio S, di cui fa parte una serie di superficie Y a curvatura 
costante. In questo e nel seguente paragrafo considereremo il caso in cui la curva- 
tura K delle superficio XY è la stessa per tutte, estendendo poi nel $ VIII la ricerca 
al caso in cui K varia con continuità dall'una all'altra superficie >. 
Supponiamo dapprima di avere un sistema di Weingarten, che, preso per sistema 
coordinato, dia all'elemento lineare dello spazio S la forma 
ds? — H;? du? + H.? dv? — H3? dw? 
e le superficie w = cost! (4; 7° specie) abbiano la stessa curvatura costante posi- 
tiva K; prendiamo per semplicità 
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Le funzioni H,, H,, Hz di v, v, w dovranno soddisfare le equazioni fondamen- 
tali (I) (II) n. 7, e poichè inoltre si ha per ipotesi : 
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val Jah 6 ( dU FR dU dv ES dv ) Veli 
la 12 delle (II) diventa 
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Indicando con © una funzione ausiliaria di v, v, w, potremo quindi porre 
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