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e sostituendo nelle due prime (I) avremo: 
HAS E Se) De Ho dU 
da cui risulta 
H, = cosm.g(u,w), H.,= seno. w(0,wv). 
Ora se si esclude il caso particolare che le superficie X siano di rotazione, si 
concluderà, come al n. 3 $ 2 M.A, che g,w sono indipendenti da w e conseguen- 
temente, cangiando i parametri v, v si può porre 
g=y=1, 
dopo di che si avrà 
DIO) 
A 
Le equazioni fondamentali (1) (II) n. 7 si traducono per la nostra funzione inco- 
gnita nel seguente sistema di equazioni a derivate parziali : 
d°w di w 
ih=@$0 be sano Eb= 
+ sen cos == 
NAST 
d 1 d°w dw 1 dim dò i 
— dlucaa: -+ C0S © —-—--- — = () 
1 du \cosw dv IWw dw senm IV dw W 
(1) D) 1 do dw li d°0 QQ 
a ssseeisonio de aa 
do \senw dV Qw dW COS  dU dW IU 
9 dio do dio I 
=—==eiglioE=e—— c08% =—=0, 
QU IdV IW DU dW IdV dv dWwW dU 
delle quali la 3% p. e. potrebbe omettersi come conseguenza delle altre. Queste sono. 
le equazioni stesse che abbiamo trovato nella M.L (v. formole (C) n. 15), per defi- 
nire i sistemi di Weingarten a curvatura positiva nello spazio di Riemann. 
Faremo qui pel sistema (1) un'osservazione, che sì potrà poi ripetere per gli 
altri sistemi analoghi che incontreremo in seguito. Se si considera l'espressione 
/ 2 2 2 2 
Aa i ( dm ) aa z 3 +(32) 
cos m \ du dWw sen” @ \ dV dW dW 
si vede facilmente che in forza delle (1) si ha identicamente 
PAL dA 
we doi 
e quindi 
A=F (w) 
dove F è funzione della sola %w. 
Inversamente se la funzione © (,v,w%) soddisfa le equazioni : 
| REI 
Hiro + sen ® cosm = () 
\ dui dv 
(1°) ( 1 27 ANO NE 2 
( DEO) 1 BIO) ) O) 
Ad. +. => F o 
| COS? © Ss >) sen°@ (3 dw ((- (0) 
U 
essa soddisfa altresì le (1) (!). 
(1) Se le (1*) sono soddisfatte, pongasi infatti 
1 d°0 po 1 d* 
cos w du dw' "— sen dv dW 
