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dove la funzione 0 (v, v, w) deve soddisfare alle equazioni simultanee : 
| 2 2 
Î d°0 d°0 
> — senh @ cosh @ = 0 
dU? dv° Lo 
d (_A d°0 209 1 d°0. 20 
cosh @ — = 
2) | Que \cosh 6 dv dw, dw senh 6 dv dw dv 
TO 1 d°6 ‘20 Il NEoLDO 
— senh 6 —_ —_ 
dv \senh 0 è dw/ Qw cosh 0 dv dw dw 
d30 DIO DI d20: 0 
—— 1 tgh — — coth @ — = 0, 
du dV dW dU dW dI dv dW dU 
o, ciò che torna lo stesso (v. Nota precedente), al sistema equivalente 
IO IO 
\ du dv? 
)_ N99 DANN (DOS DO\E 
1 = SE aL —_M(0) 
| cosh?6 \x dw senh?0 \v dw dUw 
Inversamente ad ogni soluzione © delle (1) o (1*), come ad ogni soluzione @ 
delle (2) o (2*) corrisponderà un sistema di Weingarten nello spazio S. 
29. È facile persuadersi della esistenza di soluzioni particolari del sistema (1*) 
e del sistema (2*). Basta p. e. cercare una soluzione che sia funzione di una com- 
binazione lineare 
i senh @ cosh 0 == 
(2°) 
AEMIEZIOZAI 
delle variabili; in tal caso, ove si prenda F = cost'°, le due equazioni (1*) o (2*) 
si riducono ad una sola equazione differenziale ordinaria che s' integra per funzioni 
ellittiche. 
Ora, seguendo il processo del n. 27 $ 9 M. A, dimostreremo che da ogni sistema 
noto di Weingarten dello spazio S, corrispondente ad una soluzione © delle (1) o ad 
una soluzione # delle (2), si può dedurre con trasformazione di Backlund una dop- 
pia infinità di tali sistemi e per tal modo ci accerteremo dell’esistenza di infiniti 
sistemi di Weingarten. 
Supponiamo adunque che sia noto un sistema di Weingarten dello spazio S, com- 
posto p. e. di superficie X a curvatura K=--1 di 1* specie. Sia 
I do \} 
ds? = cos? du? + sen?w dv? — ( ) dw? 
dl 
la forma corrispondente dell'elemento lineare, dove © è una soluzione delle (1). 
Trasformiamo ciascuna superficie X del sistema dato per mezzo di una trasformazione 
di Backlund (Cfr. nn. 23-24) in una nuova superficie 2" a curvatura K=1 e cer- 
chiamo se è possibile eseguire ogni singola trasformazione in guisa che le superficie 
derivate 2' facciano esse stesse parte di un nuovo sistema di Weingarten. 
Se 9 (4, v, w) indica sopra ciascuna superficie x l'angolo corrispondente alla 
trasformazione eseguita e soddisfa quindi le (8) n. 2: 
| dg, do __cosgsenm+ seno sen Y c05 0 
(8) VINTO AMO COS 0 
| dp dd sen g0 COS © | sen 0 cos g sen © 
dv du COS O 
