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Inversamente ad ogni soluzione 9 di queste equazioni corrisponde, nello spazio S, 
un sistema pseudosferico di 1® specie. 
Quando si consideri invece un sistema pseudosferico di 2% specie, sì vedrà che 
l'elemento lineare dello spazio prende la forma 
\2 
) dw?, 
dove © soddisfa le (B') n. 18 M.L. Queste equazioni, che nella citata Memoria ave- 
vano soltanto un significato analitico, vengono così a ricevere nello spazio S un’ inter- 
pretazione geometrica, come quelle che definiscono un sistema pseudosferico di-2* specie. 
jsse possono anche essere sostituite dal sistema equivalente : 
Io) 
dW 
dsì == cosìw du? — sen?w dv? + ( 
| di dim 
dl 
( DUE Qu 
(2) i 
1 dia \P Il Ue \É do \? 
coi +) ro. 
| costm \ du dW) sen“@ \ dD' dW dW0 
/ \ / 
= Seno C0S@ 
Ai nn. 16, 17, 18 della citata Memoria (M. L), abbiamo veduto come partendo 
da una soluzione nota del sistema (1) o (2) possano dedursi sempre nuovi integrali 
dei sistemi stessi. Queste trasformazioni analitiche troveranno ora, nel nostro spazio S, 
la loro interpretazione geometrica come trasformazioni complementare e di Backlund 
pei sistemi pseudosferici di Weingarten (Cf. nn. 26, 27). 
31. Si abbia un sistema pseudosferico di Weingarten di 1% specie corrispondente 
alla formola 
9 9 D D D 309 a 
ds* = cosh*0 du? + senh?0. do? — S ) div* 
dI 
dove 6 è una soluzione delle (1). Applichiamo a ciascuna superficie X del sistema 
una trasformazione complementare, definita dalle formole (16) n. 26 
do dò 
| al - — senh@:cosw 
È ( dU dV 
(3) Î 20 PIO) 
— — — = cosh0 seno; 
| dv du 
otterremo così una serie oo! di superficie pseudosferiche di 2* specie 2", le coordi- 
nate x,y," dei cui punti saranno date da : 
a'=ax— cosmX, — seno X, 
(4) 0 y=y- cosoY — seno Y, 
r 
e /=2 — c0s0Z, — Seno Z,. 
Ora domandiamo se si può determinare w in guisa che le superficie 2° facciano parte 
di un nuovo sistema pseudosferico. 
Applicando le formole (6) n. 8 troviamo 
do} 
da? + dy'? — ds? == cos @ du? — sen? w dv? + i) — M° do? + 
(ve 
+ 2 senh 0 coso M dudw + 2 cosh 0 seno Mdvdw, 
dove si è posto 
20 cosm d°0 seno d°0 
"wo cosh@ du dwW  senhg dv dw 
