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Dunque le superficie 2° complementari delle X costituiranno un sistema di Wein- 
garten corrispondente alla formola 
2 2 2 2 2 Lo) wileae 
ds? = cost du? — senz@ do? +-{—-} dw?, 
dWwW 
quando , oltre che alle (3), soddisfi alla equazione in termini finiti (Cf. M. L, n. 21) 
coso 2° seno d°0 20 
(5) =0. 
| = 
cosh 6. du dW È senh6 dvdw  dwWv 
Resta dunque da verificarsi soltanto che la funzione © definita dalla (5) soddisfa 
le (3), ciò che facilmente si vede, avendo riguardo alle equazioni (B) n. 15 M. L, 
cui soddisfa 0. 
La equazione (5) dà in generale due valori per © essenzialmente distinti ma 
essi sono reali soltanto quando la funzione F(w) nelle (1) è posi/iva e coincidono se 
F=0. Ciò dà luogo, come nel caso dei sistemi pseudosferici di Weingarten dello 
spazio euclideo (M. A $ 8), ad un'importante distinzione. Se indichiamo con — la 
È (0) 
x 
flessione delle traiettorie ortogonali delle superficie pseudosferiche £, si troverà 
dl DON? 1 VA Il f DON ON 
een, 
9° I \dw cosh?8 \ du dw senh?# \Wo dw QUO ) 
La trasformazione (5) condurrà quindi a due sistemi di Weingarten contigui al 
Il : 
sistema dato se la flessione — sarà >L1. 
Q 
A ciascuno dei sistemi pseudosferici di 2% specie così ottenuti potremo nuova- 
mente applicare la trasformazione complementare. Osserviamo infatti dapprima che 
se w soddisfa la (5) si ha 
RON? o 2 iN 320. \? 
mai LL (22) LA ld a 
— = = -} î Ì 
costo \ du dw sento \nodwuj  \dw cosh?9 \ du dw 
Ii 0 de ) (22) 
senh*@ ( dw} \ d%70 
come è facile riscontrare, e quindi la F(w) nelle corrispondenti equazioni (1) (2) ha 
il medesimo valore. Ora se si determina @ dalla equazione 
cosh® d°o senh® dî dò 
COS w dd senh@ dv dwW = 3wW 
(69) 
che dà per © due valori reali distinti, essendo F(w) > 0, colle formole 
d'= a + cosh OX', — senh OX”, 
(6). y' = y' +4 cosh OY", — senh OY”, 
3" = 2" 4 cosh ©07/, — senh OZ; 
si passerà ad un sistema pseudosferico di 1% specie. Ma una delle soluzioni della (5%) 
è l'antico valore @ e quindi il corrispondente sistema pseudosferico (6) coincide col- 
l'antico; la 2% soluzione dà luogo invece ad un nuovo sistema. A questo applicando 
nuovamente la trasformazione complementare e così di seguito, è chiaro che costrui- 
remo una serie di tali sistemi estendentesi all’ infinito nei due sensi 
ISEE: SS Sin 
alternativamente composta di sistemi di 1% e di 22 specie (Cf. M. A n. 22). 
