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1 Ni 
Ma se —=1 le due soluzioni della (5) o della (5*) coincidono e la serie pre- 
Q 
cedente si riduce a due soli termini. Questi speciali sistemi di Weingarten sì diranno 
a flessione costante; essi corrispondono al caso in cui la F(w) nelle equazioni (1) 
o (2) è nulla. Fanno parte di questa classe i sistemi ciclici di cui al n. 27 abbiamo 
dimostrata l’esistenza. 
32. Anche colla trasformazione più generale di Bàcklund (n. 26) si possono far 
derivare da un sistema pseudosferico di 1% o 2* specie nuovi sistemi pseudosferici di 
Weingarten. Partiamo p. e. da un sistema di 1* specie corrispondente ad una solu- 
zione 6 delle (1) e applichiamo a ciascuna superficie pseudosferica 3 una trasforma- 
zione di Backlund definita dalle formole 
| dI 909 
__ -— G0s a senh 6 cos — sen a cosh @ sen w 
(a) (du dv 
(64 s 
| do 2d09 
| sd ria SEO: senh 0 cos + cos @ cosh 6 senw . 
dV Ù YU 
Le superficie derivate x" saranno date dalle formole 
dd T (cos © X, + sen w Xp) 
sen a 
g=Y (cos Y, +4 sen Y,) 
 sena 
SS1, 
5 
(I 1 
- (cosoZ, + sen © Zs); 
sen & 
cerchiamo ora di determinare © in guisa che le superficie pseudosferiche 2° facciano 
parte di un sistema di Weingarten di 2* specie. Dirigendo i calcoli come al n. 29, 
troveremo che w deve soddisfare l'ulteriore equazione 
(4) do Ri 1 | cosm 0 seno d°# Lace 29 ) 
dw coselcosh@ du dw  senh6 dv dw dw I 
Le tre equazioni simultanee (@) (8) per la funzione incognita © formano, come 
già si riscontrò al n. 18 M. L, un sistema illimitatamente integrabile. La formola (24) 
n. 19 M. L dimostra poi che la funzione F(w) per sistemi pseudosferici di Wein- 
garten, derivati l'uno dall’altro per trasformazioni di Bàcklund, conserva il medesimo 
valore. 
In particolare: Ogni sistema pseudosferico a flessione costante si 
cangia, per trasformazioni di Bàcklund, in sistemi della medesima 
classe. 
Più particolarmente ancora: Ogni sistema ciclico si cangia per tra- 
sformazioni di Baàcklund in sistemi ciclici (Cf M. A, n. 28). 
$ VIII. 
Sistemi di Weingarten a curvatura variabile. 
33. I sistemi tripli ortogonali dello spazio S, che abbiamo finora considerato, 
contenevano una serie di superficie X colla medesima curvatura costante. Nel pre- 
sente $ tratteremo il caso più generale che le superficie X siano bensì a curvatura 
