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4° Le superficie XY siano pseudosferiche di 2% specie. Allora l'elemento lineare 
prende la forma 
MIO) 
ds? = cos? @ du? — sen? @ dv® + R? (2) do 
dw 
e le funzioni @(v, v, w), R(w) saranno legate fra loro dalle equazioni (E') n. 23 M. L. 
Nei due ultimi casi perveniamo dunque a sistemi di equazioni già discussi di 
cui non staremo qui a ripetere la trattazione analitica. Solo osserveremo che le equa- 
zioni (29) (29°) n. 23 M. L vengono ad assumere nel nostro spazio S il significato 
della trasformazione di Bàacklund applicata ai sistemi pseudosferici di Weingarten. 
Così p. e. se si parte da un sistema pseudosferico di 1% specie, corrispondente ad 
una soluzione @ delle (E) n. 23. M. L e si determina © dalla equazione a differen- 
ziali totali (29) 1. c., applicando al sistema dato la trasformazione di Bàcklund ana- 
liticamente espressa dalle formole 
c'=4%—c(cosoX,+ seno Xp) 
o y=y—- c(cosoY, + seno Y) 
, 
s =%—c(cos0Z,+sena Z,), 
perverremo ad un sistema pseudosferico di 2* specie corrispondente alla formola 
2 
7 r r: 2 5 dO 
da? 4- dy'? — ds'? = cos? w du? — sen? w dv? + R° Di dw. 
34. Resta che ci occupiamo dei sistemi di Weingarten appartenenti al 1° e al 2° caso. 
È facile accertarsi dell’esistenza di soluzioni particolari dei sistemi di equazioni 
(1) e (2) e da queste con trasformazioni di Biacklund si potranno ottenere quante si 
vogliano nuove soluzioni. i 
Partiamo p. e. da un sistema di Weingarten corrispondente alla formola (4), 
dove ©, R soddisfano le (1). Indicando con e una costante arbitraria e definendo un 
angolo ausiliario o dalla formola 
igo = DB, 
c 
applichiamo a ciascuna superficie pseudosferica X una trasformazione di Bàacklund 
espressa dalle formole 
cd =a—-C(cospX,+ sengXo) 
(3) y=gy—c(cospY+sengY:) 
y 
= —c(cospZ+sengpZo), 
dove la funzione g sia determinata dal sistema illimitatamente integrabile 
dp do ____COsgsenw-+ seno sen g c0S © 
dad c sen o 
dg d° DA sen g COS + seno cos gp Sen @ 
DIE e seno, 
dp | cos d°w seng d°w d0w | 
-— = seno)e = c gni A 
dw cos du dW seno 30Iw dw Î 
Si troverà facilmente: 
R n dA, , 
da? 4- dyl®? — de? = cos g du® + sen? p do* — e? tg? 0 5) du, 
cl 
