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delle quali le tre prime coincidono colle (I) n. 7. Quando le (A), (B) siano soddi- 
sfatte, la forma (2) è trasformabile nella (1). 
Per il problema da trattarsi è opportuno di considerare anche la forma 
(2*) y = H,? du — Hy° do? + Hz? dw? 
ed esprimere le condizioni affinchè la sua curvatura sia una costante K. In tal caso 
le Hi, H»:, Hz dovranno soddisfare le equazioni (A) e le tre seguenti 
d (I deb Od I QI 1 3H, dH, 
| 7) i dU )- dv (k dv )% a ag TRIO 
D (i Do) d S Cl 1 3H, dH; 
(B') 20 H,. dv dv \H3z dw Hi du dU + KH.H3=0 
DI de LI dn) LU Le dî 
e), G ca) dU ( Toe Hi 30 0 + KH:H,=0. 
H, du, 
Assumendo la forma differenziale (1) come espressione del quadrato dell'elemento 
lineare di uno spazio (a curvatura costante K) potremmo qui estendere alla geome- 
tria delle superficie in questo spazio i risultati del S II relativi allo spazio S. Qui 
accenniamo soltante come tale ricerca possa condursi coi medesimi metodi (Cf. M. LS 1) 
e veniamo al problema, già enunciato nella prefazione, di determinare H,, Hy, Hy 
in guisa che la forma (2) o (2*) abbia la curvatura costante e nello stesso tempo 
le forme parziali 
H,? du ++ H,? dv?, H,? du? — H.° dv, 
che si ottengono facendo w = cost!®, siano esse stesse a curvatura costante. 
36. a) Se si tratta della forma (2) dovranno H,, H., H3 soddisfare le (A) (B) 
e nello stesso tempo dovrà essere 
1 d(/193H DICIOVER 
(8) aaa 
ossia per la 1° delle (B) 
(4) 5h I -DIEG 
Hh Hz dv (HSH3 dWw 
Suddistinguiamo ora due casi, secondo il segno di K —%, supponendo dapprima % = 0. 
1° Sia K —% positivo, poniamo 
KT_-4= 
—K—%. 
1 . 
R? ’ 
dalla (4) e dalle (A) (B) con calcoli simili a quelli del n. 28 dedurremo che si può 
porre 
20 
H, = cosh06 H,= senh@6 H,=R—- 
ove 0 è una funzione ausiliaria. Le (A) (B) danno ora per @ un sistema di equazioni 
alle derivate parziali di forma diversa secondo il segno di X. Se X > 0 si potrà fare, 
senza alterare la generalità, X = 1 e si avranno per 0 le equazioni (II), (IT,) n. 4 
M.A; se invece 4<0, si farà #=—1 e @ dovrà soddisfare le equazioni (B) 
n. 15 M. L. 
2° Sia K—% negativo, poniamo 
mat 
pe 
