Mémoire sur les équations modulaires 
par Mr. HENRY J. STEPHEN SMITH, 
professeur de G6ométrie è l’Université d’Oxford, 
présenté par Mr. L. CREMONA 
dans la séance du 4 février 1877. 
I. On connait les beaux résultats auxquels sont parvenus MM. Kronecker et 
Hermite, en étudiant les rapports qui existent entre les équations modulaires et les 
formes quadratiques binaires è déterminant négatif. Mais les points de rapproche- 
ment, qu'on a trouvés jusqu'ici entre la théorie des  équations modulaires et celle 
des formes quadratiques è déterminant positif, ont été peu nombreux; et, è cet égard, 
nous ne saurions citer que le Mémoire si remarquable de M. Kronecker, « sur la 
solution de l’équation de Pell par le moyen des fonctions elliptiques ». Cependant, 
nous avons été conduits è reconnaître qu'il existe entre ces deux théories des liens 
très intimes. C'est ce que nous nous proposons de faire voir dans ce Mémoire, en 
démontrant que, si l’on désigne par N un nombre entier quelconque, et par 
DI (KAI DIA) =0 
une des équations symétriques, qui définissent les transformations modulaires du 
Nième ordre, la courbe représenté par l’équation cartésienne 
dd WE NO 
pi 
aura la propriété singulière de présenter une véritable image géométrique du système 
complet des formes quadratiques réduites appartenantes au déterminant positif N. 
C'est en suivant la route tracée par les illustres géomètres que nous venons de 
nommer, que nous avons été conduits è ce résaltat, qui nous a paru offrir une in- 
téressante application de l’arithmétique è la géométrie, aussi bien qu’à la théorie 
des fonctions elliptiques. 
II. Soit w=x+ îy une quantité complexe, la valeur de + étant positive. 
yp+ dQ 
Posons @ = a+ 80 
; «, {3 y: d étant des nombres entiers qui satisfont è l’équation 
ad —Lpy=1, 
et aux congruences 
, mod. 2; a=d = 1, mod. 4. 
