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En représentant, comme ou fait ordinairement, les quantités complexes par les points 
d’un espace de deux dimensions, nous exprimerons la relation qui subsiste entre 4 
et Q, en disant que les deux points correspondants sont équivalents. Cette défini- 
tion de l’équivalence est plus restreinte, et par conséquent, moins naturelle que celle 
qu'on emploie ordinairement en arithmétique; et c'est uniquement pour abréger le 
discours que nous l’admettons ici. Dans le plan #7, dont toutefois nous ne consi- 
dérons que la partie située au dessus de l’axe des abscisses, tracons les deux droites 
P—a—1==0, Pi=x+1=0, et les deux demi-cercles 
Q=a ly —x=0, Qi a+ y+a=0. 
Soit XY l'espace compris entre les deux droites, mais extérieur aux deux cercles; 
Pet Q étant censés appartenir è cet espace, mais P et Q! en étant exclus. 
Cela posé, on aura les propositions suivantes, qu’on déduit sans peine de la théorie 
de la réduction des formes quadratiques binaires è déterminant négatif. 
« Étant donné un point quelconque w, il existe toujours un point réduit (c'est 
à dire, un point appartenant è l'espace réduit S), qui est équivalent è @; et il n°en 
existe qu'un seul ».. « La substitution réduisante est aussi unique ». 
Pour abréger, nous conviendrons de nommer normales les substitutions telles 
que 
y, Ò 
III. Soit N = 0° — ac; a, db, c étant des nombres entiers. L’équation 
a+ 2ba + cc (062 - Y?) == (0) 
appartient è un cercle réel; nous représenterons ce cerele par [a, d, c], et la forme 
quadratique corresvondante par («,d,c). Nous conviendrons d’appeler cercle ra- 
tionnel tout cercle tel que [a, d, c|; mais nous ne considérerons toujours que les 
demi-circonférences situées au dessus de l’axe des x. Lorsque N est un carré, on 
peut avoir c= 0; dans ce cas le cercle rationnel devient une droite. 
Soit (A, B, C) une forme équivalente è (a, d, e) par la substitution normale 
l 
di 
Y: 
par la mème substitution. En effet, l’équation @ = 
; les cercles correspondants |A, B, C) et |a, d, c| seront aussi équivalents 
py+dQ 
FRS 
o et Q des deux cercles [a, d, c), |A, B, C), cette espèce de correspondance géomé- 
trique qui a été appelée affinité circulaîre par Moebius, et qui, à la vérité, ne 
differe point essentiellement de la relation si connue de l’inversion. Il est bon 
de remarquer que la transformation par affinité circulaire du cercle [a, d, c| dans le 
cercle |A, B, C), est en mèéme temps une transformation homographique. Ainsi, lorsque 
N est non-carré, les substitutions automorphiques de la forme quadratique (a, db, c) 
sont représentées géométriquement par des transformations homographiques du cerels 
|a, b,c) dans lui-mème. Et de mème que les substitutions automorphiques norma- 
les sont les puissances, positives ou négatives, d’une seule d’entr’elles; de mème 
les transformations homographiques, que nous avons è considérer par rapport au 
établit, entre les points 
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