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cercle [a, d, c), proviennent de la répétition, dans les deux sens, d’une seule trans- 
formation fondamentale, 
En supposant que [a, d, c) soit un cercle primitif, et en désignant par t, « les 
moindres nombres positifs qui satisfont è l’équation t* — Nu? = 1, « étant pair, £ 
impair, on trouve que l’ellipse, régulatrice de cette transformation fondamentale, 
est représentée par, l’équation 
a+ 2br + cxt + ct? y = 
L'excentricité de cette ellipse est donnée par l’équation VI na ; =t+uVN;d’où 
l’on voit que les transformations homographiques, qui correspondent aux substitutions 
automorphiques normales, sont semblables pour tous les cereles primitifs du mème 
déterminant. 
IV. Soit 7==2 ocu=-1, selon que le plus petit nombre v, qui satisfait è 
l’équation t? — Nu?— 1, est pair ou impair. Il est facile de vérifier que Ja restriction, 
que nous avons dù apporter è la définition de l’équivalence, entraine la répartition 
des formes de chaque classe proprement primitive en 30 classes subalternes, qui sa- 
tisfont, en nombre égal, aux conditions exprimées par les congruences 
(A) ai=fc=#1emod82: 
(B)i la =10}e =M1m0d82) 
(C) a=1,c=0, mod. 2. 
Pareillement, lorsque N = 1, mod. 8, chaque classe de formes improprement primi- 
tives se partage en six classes subalternes, dont il y a toujours deux qui satisfont 
à chacun des systèmes 
(A) a=c=0, mod. 4, 
(B) a=0, c=2, mod. 4, 
(C) a=2,c=0, mod. 4. 
Enfin, lorsque N = 5, mod. 8, chaque classe improprement primitive contient 25 
classes subalternes, o' étant = 1, cu = 3, selon quel’équation t*— Nu? = 4 est réso- 
luble ou irrésoluble en nombres impairs; de plus, chacune des congruences 
(A Oh 04 
(B"), db =— 1, mod. 4, 
est satisfaite par o' de ces classes subalternes. 
Soient 4, A les nombres des classes proprement et improprement primitives, qui 
appartiennent au déterminant N; soient H, H' les nombres correspondants des classes 
subalternes de cercles. En observant que les deux formes (a, d, e), (a, — d, — e) 
ne correspondent qu’ un seul cercle [a, db, c|, et que ces deux formes appartien- 
nent toujours è des classes subalternes différentes, bien que, dans certains cas, el- 
les peuvent ètre comprises dans la méme classe, on parvient è établir les deux 
équations 
nica, Moi 
