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V. Maintenant, aux points du cercle primitif |a, d, c| substituons les points 
réduits correspondants. Ce cercle se changera en un assemblage d’arcs circulaires 
réduits, dont la totalité formera une ligne L, qui en apparence sera brisée, mais 
dont on mettra en évidence la continuité, en repliant sur lui-mème l'espace X, de 
manière è former une surface fermée tricuspide, les droites P, P_! étant réunies en- 
semble, et aussi les cercles Q, Q. Il importe surtout de savoir quels sont les cer- 
cles équivalents è [a, 6, c] qui traversent X; et quelle est la loi qui, dans la ligne 
composée L, gouverne la succession des ares réduits. Voici la solution de ce pro- 
blème pour le cas d’un déterminant non-carré. 
Soit 9 l’une ou l’autre des racines de l’équation a +200+c6=0. Dévelop- 
pons 9 en fraction continue, en prenant toujours pour quotient intégral le nombre pair, 
positif on négatif, qui est le plus rapproché du quotient complet correspondant. Soit 
1 1 
da dts Tai «oa 
Mas 0000 269,35 Go 9° Ù 
la période de la fraction continue ; les nombres entiers 1, 22, ... tas étant  positifs; 
€1, 59, ... &os désignant des unités positives ou négatives; et Ie quotient complet 0, étant 
de rang impair dans le développement de 9. Posons aussi 
1 1 1 
di = 2 Ba 9 , È, — dg bo + 9 , , Go= 2g Ls + gi D 
et considérons les Su quantités irrationnelles 
Chacune de ces ++... quantités est la racine d’une équation quadratique équi- 
valente èà a + 200 + c@2— 0; par conséquent, les cercles correspondants sont équi- 
valents è |a, d, c]. Or, tous ces cercles traversent l’espace X, et la ligne L est composée 
des parties de leur circonférences qui se trouvent dans l’intérieur de cet espace, ces 
parties étant prises dans l’ordre indiqué par le développement. 
VI. Les formes quadratiques correspondantes aux cercles dont nous venons de par- 
ler, different des formes réduites de Gauss, (1°) parceque nous nous servons ici d’une 
fraction continue avec des quotients pairs; (2°) parceque nous admettons parmi Jes 
formes réduites, non seulement les formes réduites principales qui correspondent aux 
