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1 3 i; , 
quotients complets %,, g, 0 Mais aussi les formes intermédiaires, correspondantes 
7) 
aux racines 
I 
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(3°) parceque nous prenons pour les racines des équations qui correspondent aux 
quotients de rang pair, les quantités 
Di, 2, DIRO 
pata ia 
Do oe? 
au lieu «les quantités — 0, — 0, ... . . — das. Il est presqu’inutile d’ajouter que, 
pour avoir la suite des arcs réduits, on pourrait se servir, au lieu du développement 
en fraction continue, de l’algorithme des formes contigites de Gauss, en y apportant 
une légère modification. 
VII. Lorsque le déterminant est carré, les arcs reduits, équivalents è un cercle 
donné, forment toujours une suite continue; mais cette suite, au lieu d’étre pério- 
dique, commence avec un arc passant par un des points singuliers de la surface 
tricuspide, et se termine de la mème manière. Désignons les points (0,0) (0,:0) par 
p et q: et l’un ou l’autre des deux points équivalents (1,0), (— 1, 0) par r. La 
suite des cercles réduits, équivalents è un cercle proprement primitif donné, aura pour 
ses points extrèmes rr, gg, pp, selon que le cercle donné satistait aux congruences 
(A), (B), (C) de l’article IV. Pareillement, dans l’ordre improprement primitif, les 
points extrèmes de la suite des cercles réduits, équivalents è un cercle donné, seront 
pq. qr, rp, selon que l’équation de ce cerele satisfait aux congruences (A'), (B'), (C) 
de l'article cité. Pour déterminer complètement la lione L qui correspond à un cer- 
cle donné |a,d, c], dont le déterminant est un nombre carré, il suffira de connaître 
les équations des deux cercles extrèmes de L, et d’en déduire la substitution nor- 
male unique qui transforme l’un d’eux dans l’autre. Soit, en effet, 
VIDE 00 
we £—_, 
Fiat 6 O 
cette substitution; on en déduira le développement fini 
SI 1 
= 2eap1+ 5 1 
Uan +... + 1 
2695 Pas + TOR 
où il faut remarquer qu'on peut avoir yi==0, p,s= 0. Ce développement rempla- 
cera la fraction continue périodique de l’art. VI, et fera connaître tous les cercles 
de L dans leur ordre naturel de succession. Tout se réduit done è trouver les équa- 
tions des deux cercles extrèmes de L. Pour cela, soit 
(a, d, c) (2, y)}=m(pr+py) (40 + 99), 
m étant le plus grand diviseur commun de @, 20, c. En désignant toujours par 
3 | 
| i une substitution normale, et en regardant comme inconnus les nombres 
IDO 
entiers @, (8, y, 0, 4, 29,4, X, l’équation indeterminée 
P, P' a, B| qa | 
ld “n i r | 
q, I y. Ò | X, d | 
