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Réciproquement, étant donné le tracé des arcs réduits, équivalents à un cercle 
quelconque, la table servira pour retrouver la fraction continue, et, par conséquent, 
les équations des cercles réduits. Mais on peut obtenir le mème résultat sans faire 
usage de la table. Posons 
A == 
e) 
Io 0 Ra 
O; dl 
a, 6 
| 
et observons que toute substitution normale ) 
Y: 
peut se mettre, et cela d’une 
manière unique, sous la forme 
[IE FR SC 0) Pea cvo | 0) |Fos00s 
les exposants ey{1, 2/2», ++ €252, (dont le premier etle dernier peuvent s’'évanouir) 
étant les mèmes nombres qui se présentent dans le développement 
NT dO 
a+ 0 
= Qeua + 1 
AE 5 006 0 + 
D'un autre còté, un arc réduit qui se termine en P, P_!, Q, Q est toujours suivi 
par un are réduit qui commence en P_, P, Q, Q; et les substitutions qui corre- 
spondent àè ces quatre cas sont respectivement 
el IP I6GL (OF 
Il suit de là que, pour avoir les exposants citi, 8:22; - . - , il suffira de compter 
les ares réduits, en faisant attention è leurs points d’entrée et de sortie. Ainsi, par 
exemple, dans le cas d'un déterminant non-carré, supposons qu'on commence la pé- 
riode avec un arc réduit (9) qui prend son origine en Q cu Q= et qui se termine 
en P°:; gi sera le nombre des ares réduits, y compris (0) lui mème, qu’on aura à 
parcourir avant de venir è un arc qui se termine en Q ou Q-; supposons encore 
que le premier are réduit, qui n’aboutit pas en Pî1, se termine en Qî2; uo» sera 
le nombre des arcs réduits qui se terminent en Q?, avant qu'on arrive à un arc 
qui aboutit en P ou P_!; et ainsi de suite. 
On remarquera que les arcs des deux premières espèces correspondent aux quo- 
tients intermédiaires 
1 
Gi Qeiii i o 
1 il 9 grezida, 9 
: n 7 1 
tandis que ceux des quatre dernières correspondent aux quotientes complets 9, , RODE 
2 
On peut ajouter que tout cercle qui coupe le cerele a? + y* =1 est un cercle 
réduit d’une de ces quatre espèces, et réciproquement. 
IX. Pour faire l’application de ce qui précède aux fonctions modulaires, soit 
toujours © = x + îy, et posons, avec M. Hermite, k= 98 (@), k?= 48 (0); faisons 
aussi 08 (0) —4+X+dY, 48 (0) =41—X —iY, Xet Y étant des quantités réel- 
les. À chaque point @ du plan xy ou, si l’on veut, è chaque point seulement de l’espace 
