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réduit Y, faisons correspondre le point X--iY du plan illimité XY : c'est pour 
mettre en évidence la symétrie des figures, que nous avons choisi pour origine O des 
axes rectangulaires OX, OY le point «8 (0) =48(0)=4, qui a pour correspondant 
le point © = è. On sait que, dans une telle transformation, les parties infinitésimales 
correspondantes des deux figures sont, en général, semblables. Dans le cas actuel, il 
n'y a exception que pour les trois points singuliers p, g, r, auxquels correspondent 
respectivement les points (—4, 0), (4, 0), et l’infini du plan XY. De plus, si l’on 
ne considère que l’espace réduit, la correspondance sera parfaitement déterminée; 
de sorte qu'àè chaque point réel de X il correspondra toujours un seul point réel de 
XY, et réciproquement. 
Maintenant il est facile de voir que, si l'on suppose réelles les quantités a, db, e, 
d, %,Y, l’équation 
3 c+d(e +1 
PAR I) 
entraine les deux suivantes 
@= dd, 
c+2de +b(e* +) =0. 
De cette seule observation on tire immédiatement le théorème que voici: 
« Tous les cereles rationnels du plan xy sont représentés, dans le plan XY, par 
des courbes algébriques ». 
« Les équations ide ces courbes se déduisent des équations modulaires en posant 
k4+X+(Y,X_=4+XT—iY>. 
X. Considérons d’abord quelques cas particuliers, et désignons par Aj, A» les 
points (4,0), (—#, 0). Le cercle a2+ y?= a, et les droites »=0, «= 1 sont 
représentés dans le plan XY par les trois parties de l’axe des X, depuis + co jusqu’à 
Ai, depuis A, jusqu'à A», et depuis A, jusqu'à — co. L’axe des Y depuis — o 
jusqu'à +00, correspond au cercle x2+ yy? = 1, qui est le seul dont la demi-cir- 
conférence soit entièrement comprise dans l’espace Y. Enfin, les deux cercles équiva- 
lents a + y° = = 27, et les deux droites équivalentes 2x = = 1, sont représen- 
tés respectivement par les cercles (X +4)? + Y?=1, (X{4}}+Y?=1. 
On voit que les cercles rationnels de déterminant + 1 sont représentés par des 
droites et des cercles dans le plan XY; ce sont les seuls cercles rationnels qui jouis- 
sent de cette propriété. Ces cercles divisent l’espace £ en douze parties distinctes; 
la considération de cette division, et de la division correspondante du plan XY, est 
très importante pour la théorie des transformations du premier ordre. On peut aussi 
remarquer que deux points, symétriques par rapport è une droite de déterminant + 1, 
ou inverses par rapport è un cercle de déterminant + 1, sont remplacés dans le plan 
XY par deux points qui ont la mème propriété par rapport è la ligne correspondante. 
XI. Ceci suflit pour les cercles de déterminant + 1, tant proprement qw'im- 
proprement primitifs. La table suivante, dans laquelle nous avons posé 
RX? Y3, Rî—(X—j}?__Y®, R°_(X+p}= 
donne les résultats correspondants pour les déterminants 2, 3, 4, 5. 
