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Eu substituant des fonctions dissemblables, on obtient le système complet des équa- 
tions modulaires du Nième ordre. Nous écrirons ces équations, comme il suit: 
i) E@1I-X)=0, Gi) E (Be 0, 
(iii) Pr )00 (iv) Fk, 23)=0, 
(v) 3 (1 x Di ro: (vi) P( 3, ite) == 
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elles correspondent, comme on sait, aux six formes différentes 
101 RE 1.0 ch Ho tl un 
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que peut avoir une substitution de déterminant impair par rapport au module 2. 
Les équations (v) et (vi) s'échangent entr’elles lorsqu’on perm@tte k? et X?; les. qua- 
tre premières sont symétriques par rapport è k? et X?. Donc en gcrivant &@?—=4+X+-<Y, 
\°---5+X—tîY, dans les équations (i), (ii), (iii), (iv) on aura les équations réelles de 
quatre courbes géométriques, que nous appelerons désormais la première, la seconde, 
la troisiòme et la quatriòme courbe modulaire; nous observons toutefois que lorsque 
N=3, mod. 4, la quatrième courbe se réduit aux deux points conjugués (= 4, 0). Des 
équations (v) et (vi) on déduit les équations de deux courbes imaginaires conjuguées, 
dont nous ne nous occuperons pas dans ce Mémoire. 
(ii) Soit N = 2“. Dans ce cas, on a l’équation modulaire normale /(k?,}?, 2%)=0, 
o , ; 2h+ 7 
dont les racines sont données par la formule k= o8(0), X} = 98 ( ge per dé- 
sigrant par h un terme quelconque d’un système de résidus pour le module 2*. Cette 
équation n’est pas symétrique par rapport è k2, 2; mais elle jouit des deux proprié- 
D) 
\}- 1 
pour 2. Il suit de là que les trente-six substitutions anharmoniques ne donnent que 
neuf équations différentes: 
1 
Za a 5 "av "a 7 Kari a OI " ’ QI 
tés de ne pas se changer (1°) lorsqu’on éerit e Pow kè, (2°) lorsqu’on éerit 
(10 SNO dn la 0, RO) ce fASR = 
(OS, ie 
(iv)... F(X) =0, (VISSETA (ET) 0 
; / 1 4 1 
7 — kr, = )= 711) OO: — XI = 
Wi). /(17R 3) 0. (vi) (1 , n) 0, 
on TARE E ARAN 
(vii) PRES r(t. n) (1010) PSP MS, m)=0 
qui correspondent respectivement aux neuf formes différentes 
(mal O) |0,0] ia IGO Or Ra] 01 
petto)? ]o 093°? |Lo|?7|0o,0|?|0, 11 
