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que peut avoir une substitution de déterminant pair (la forme 
OO, } 
0. 0 | étant exclue) 
t) 
par rapport au module 2. En effet, les racines de ces équations sont données par 
les formules: 
N 
e Sal DE AV = 
Ie see l== 24% 
i cop = 
Ra) 
i 2h = @ È 2 ) 
IV 2_ 8 _———_—_@—m— a 58 -—_ 
Mm... -( DT ) (MW) 000 di © (7 cho.) 
È co —Nesg N ra A SII 
(vi) Suioo = #( Seo ) (vii) oo ATE= a gi nta °) à 
— 1l+ (21 + 2h] 6) 
Sa 5 Pesto ; Ar: j DI) \ 
(vii)... XaegBf____ (a RE 
* \24+-2h+% È 
le Mesio 
Les équations (i), (ii), (iii) sont symétriques par rapport à &? et X*; en y éerivant 
k=s+X+iY,X}=4+X—4Y, comme ci-dessus, on obtient les équations 
de la première, de la seconde, et de la troisibme courbe modulaire. Les équations 
(iv) et (v), (vi) et (vii), (viii) et (ix) s'échangent entr’elles, lorsqu’on échange 4? et }2; 
par conséquent, elles ne fournissent que des courbes imaginaires conjuguées. 
(iii) Soit enfinN= 2°n, n étant impair. Dans ce cas encore il y a neuf équations 
modulaires; on les obtient successivement, en éliminant 3 de l’équation F(z,)%,n)=0, 
et de chacune des neuf équations modulaires de l’ordre 2, dans lesquelles on rem- 
place X? par 3. En effet, en désignant par N; et Ny deux nombres premiers entr’eux, 
et par fi(k?, X%, Ni) = 0, fa (k2, 12, Na) = 0 deux équations modulaires appartenantes 
aux ordres N, et N, respectivement, le résultat de l’élimination de 3 des deux équa- 
tions fi(k?, 3, Na) = 0, et fa(z,)?, Na) = 0, est toujours une des équations modu- 
laires de l’ordre Ni YX Na. Si N, N avaient un diviseur commun, cette proposition 
serait encore vraie; mais le résultat serait encombré de facteurs étrangers, qu'on 
peut assigner à priori, et qui appartiennent è des transformations d’ordre inférieur. 
Dans le cas actuel, on vérifie facilement que les éliminations indiquées  fournissent 
le système complet des équations modulaires pour les transformations de l’ordre 2% XK n. 
Les trois premières de ces équations sont les seules symétriques, les autres étant conju- 
guées par couples. On en déduit (comme dans le cas précédent) les équations de trois 
courbes modulaires réelles, et de trois couples de courbes imaginaires conjuguées. 
Le théorème suivant résulte de cette discussion: 
< En désignant par N un nombre quelconque positif, les cercles proprement pri- 
mitifs de déterminant N, qui appartiennent aux classes subalternes (A), (B), (C), sont 
veprésentés respectivement dans le plan (XY) parla première, la seconde, et la troi- 
sième courbe modulaire ». 
< Lorsque N = 1, mod. 4, les cercles improprement primitifs sont représentés 
par la quatrième courbe ». 
