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XIII. Soit, en premier lieu, N un nombre non-carré. Les courbes modulai- 
res ne peuvent rencontrer la ligne droite è l’infini que dans les deux points cycliques 
imaginaires;-de plus, aucune de ces courbes ne peut avoir une branche réelle pas- 
sant par Ax ou A;; toutefois le point A; peut appartenir, comme point conjugué, è | 
la seconde courbe, le point A, è la troisième, et tous les deux è la quatrième. Cha- 
cune des trois premières courbes est composée de 3 H= 4 ch parties fermées, entiè- 
rement distinctes entr’elles, et dont la forme générale est celle d’une spirale lemni- 
scatique entrelacée, qui s’entortille alternativement autour des denx points A1, Ao. 
Chaque spirale peut ètre considérée è volonté comme représentant, soit une classe 
subalterne de cercles proprement primitifs, soit un cercle unique choisi arbitraire- 
ment dans cette classe subalterne. De méème, lorsque N = 1, mod. 4, la quatrième 
courbe modulaire est composée de H'= c'h' spirales, qui représentent respective- 
ment les H' classes subalternes des cercles improprement primitifs. 
Soit, en second lieu, N = n? un nombre carré. Désignons par A le nombre des 
solutions de la congruence a? + 1 = 0, mod. 2n, de sorte qu'on ait A—=0, si n est 
pair, ou divisible par un nombre premier de la forme 4m + 3. Comme dans le cas 
précédent, chaque courbe modulaire est composée d’un certain nombre de spirales di- 
stinctes; mais ici chaque spirale doit passer soit par le point A, soit par le point 
As; ou bien elle doit avoir un point è l’infini; de plus une spirale peut ètre sim- 
ple, ou multiple ; c'est è dire qu'elle peut satisfaire è ces conditions soit une fois, 
soit plusieurs fois. Dans chacune des trois premières courbes il y a A spirales simples, 
et gs (HT—-3A4)=&(h— A) spirales doubles; chaque spirale ayant soit un point, soit 
deux points, è l’infini dans la première courbe, et passant soit une fois, soit deux 
fois, par le point Aj dans la seconde courbe, et par le point A» dans la troisième 
courbe. Enfin, dans la quatrième courbe, qui n’existe que lorsque n est impair, il y 
a A spirales triples, et 4(H'—3A)==4 (l'— A) spirales sextuples; chaque spirale 
ayant, soit un point, soit deux points è l’infini, et passant, en outre, soit une fois, 
soit deux fois, par chacun des deux points A A.. 
Une spirale simple représente une seule classe subalterne de cercles; les deux 
arcs réduits, qui appartiennent aux cercles extrèmes, étant representés par les par- 
ties de la spirale les plus voisines, de part et d’autre, soit du point è l’infini, soit 
de celui des points A, As qui appartient à la spirale. Une spirale double représente, 
au contraire, deux classes subalternes, comprises dans la mème classe, mais non équi- 
valentes entr’elles; les deux parties de la spirale, qui correspondent à ces deux clas- 
ses subalternes, étant separées l’une de l’autre par le point double A, ou Az, cu bien 
par les devx points è l’infini. On remarquera que lorsqu’une spirale double a deux 
points è l’infini, ces deux points sont toujours distincets, ayant chacun une asymptote 
à distance finie; et de mème, lorsqu’une spirale double passe deux fois par le mème 
point A, les points extrèmes de chacune des deux parties dans lesgelles elle est divisée, 
bien que réunis au point A, appartiennent è deux branches qui s’y croisent è un angle 
fini. Les spirales triples et sextuples de la quatrième courbe modulaire donnent lieu 
à des observations tout-à-fait semblables, que nous pouvons passer sous silence. 
Quelque soit le nombre N, toutes les courbes modulaires sont symétriques par 
rapport è l’axe des X; la première et la quatridme sont aussi symétriques par rapport 
