— 149 — 
à l’axe des Y; la seconde et la troisibme sont symétriques entr’elles par rapport 
à ce méme axe; de plus, ces deux courbes sont les inverses de la première par rap- 
port aux cercles R,?= 1, R,2= 1; enfin, lorsque N = 1, mod. 4, la première courbe 
se change dans la quatrième par la substitution X = Y, Y= —iX. Ajoutons que 
dans chaque courbe modulaire, quelques unes des spirales sont elles mèmes symé- 
triques par rapport è l’axe des X; pareillement, dans la première et dans la qua- 
tribme courbe, il y a certaines spirales qui sont symétriques par rapport è l’axe des Y, 
ou bien qui ont le point 0 pour centre. Mais pour abréger, nous supprimons la discus- 
sion de ces particularités, qui dépendent de l’ambiguité des classes et de la résolu- 
bilité de l’équation (2 — Nu? — — 1 en nombres entiers. 
XIV. Imaginons que dans le plan XY on ait opéré une coupure, suivant l’axe 
des X, depuis A, jusquîèà — 00, et depuis A; jusquà + 00, en y comprenant les 
deux points A, Ag eux-mèmes. Chaque spirale modulaire sera divisée dans un cer- 
tain nombre de parties, que nous nommerons les spires de la spirale, et que nous 
considérerons séparemment. Il est évident que, si l’on remplace le cercle rationnel, qui 
est représenté par la spirale, par l’assemblage des arcs réduits qui lui sont équi- 
valents, chacun de ces arcs réduits aura pour image géométrique dans le plan XY 
une certaine spire de la spirale. Donc, en négligeant, pour abréger, les spires qui 
ont un point è l’infini, et celles qui passent par un des points A1, A, on pourra en 
distinguer six espèces différentes, dont voici la description générale. 
Une spire de première espèce (P_! P) prend son origine dans un point du segment 
(— co A) et se dirige vers la partie inférieure du plan; ensuite elle traverse le seg- 
ment A» 0 pour passer dans la partie supérieure du plan, et aboutit è un point 
de (— 0 A»), différent en général du point d’origine. Les spires de seconde espèce 
(QQ) sont symétriques, par rapport è l’axe des Y, aux spires de première espèce. 
Une spire de troisitme espèce (PQ) commence dans un point de (— 0A») et 
aboutit è un point de A,0c0, en restant toujours au-dessus de l’axe des X. Une 
spire de quatrième espèce (P Q7!) prend son origine dans un point de (— co A») et 
se dirige vers la partie supérieure du plan, mais ensuite elle traverse A3A;, pour con- 
tinuer son chemin au-dessous de l’axe des X, et se termine è un point de (A1 00). 
Enfin les spires de la cinquième et de la sixième espèce, (P-1Q) et (P1Q7), 
sont respectivement symétriques par rapport è l’axe des X, aux spires de la qua- 
trième et de la troisième espèce. 
On voit que les différentes espèces se distinguent entr’elles par des caractères 
qui se rapportent è la eéométrie de situation. Et il résulte de ce qui a été dit dans 
les articles V, VI, VII, que, si la courbe modulaire était une fois décrite, on n’au- 
rait qu'àè suivre des yeux le tracé d’une spirale quelconque pour avoir, en premier 
lieu, la fraction continue qui correspond è cette spirale, et pour retrouver ensuite 
le système complet des formes quadratiques réduites, représentées respectivement par 
les differentes spires dont la spirale se compose. Voici le principal résultat auquel 
Rous voulions parvenir dans ce Mémoire. Nous nous proposons, dans une autre oc- 
casion, d’exposer quelques applications, que nous avons faites des principes précé- 
dents, et qui nous semblent propres è montrer le parti qu'on peut espérer d’en tirer 
en diverses questions d’arithmétique et de la théorie des fonetions elliptiques. 
