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Infatti sia Pil polo della faccia nella sfera di projezione. L'asse della zona conju- 
gata colla faccia coinciderà col raggio che passa per il polo P. Siano P' P”i poli di 
due faccie della zona. Gli assi 0 P, 0 P', O P", determi- 
nati dalle tre faccie possibili P P' P", saranno possibili. 
Siccome le quantità - i Ù definiscono una fac- 
cia possibile di un cristallo qualunque sia il loro segno, 
e siccome il piano P' P” è normale all’ intersezione degli 
altri due, cioè ad O P, la figura mostra che a qualun- 
que faccia a destra del piano O P'P" ne deve corri- 
p spondere un altra possibile a sinistra che taglierà gli 
assi a distanze fra loro proporzionali, nel modo istesso con cui sono proporzionali fra 
di loro le distanze determinate dalla prima faccia. Quindi questa seconda faccia sarà 
inclinata sul piano O P' P" quanto la prima e di più avranno ambedue la loro interse- 
zione ad essa parallela (‘). 
$S 29. Teorema XI. — Se un piano è piano di simmetria per due coppie di piani 
è piano possibile policonjugato. 
Infatti siano a,d, i poli di due piani nella sfera di projezione; a' d' i loro simme- 
trici rispetto al piano di simmetria il cui polo è P, cioè siano rispettivamente equi- 
distanti da questo piano 
Se si considerano i circoli di zona ad, ad’, ad', ba' essi s'incontreranno sul circolo 
di zona il cui polo è P in m e n. Quindi m e n sono faccie possibili; sono normali 
al piano il cui polo è P. Questo polo sarà dato dall’incontro dei due circoli di zona 
aa', bb; dunque è piano possibile policonjugato. 
Corollario. — Se un piano è piano di simmetria solo per una coppia di piani non 
è necessariamente piano policonjugato. 
Si ricava dalla figura giacchè in questo caso non si può determinare nessuna 
faccia normale al piano dato. 
Chiameremo quel piano piano di simmetria binaria. 
$ 30. Teorema XII. — Se un piano è piano di simmetria per qualunque coppia 
di piani è piano possibile policonjugato. 
È conseguenza del Teorema XI. 
$ 81. Teorema XIII. Se una zona è policonjugata, ossia se tutte le faccie di un 
circolo di zona sono policonjugate: 
1° si può sempre riferire il cristallo ad un sistema di assi ortogonali tali che 
uno di essi coincida coll’asse della zona e che il rapporto dei quadrati dei parametri, 
corrispondenti agli altri due assi, sia razionale; 
2° i quadrati dei coseni degli angoli che fanno fra loro le faccie della zona 
sono razionali. 
Se in una zona A tutte le sue faccie @ sono policonjugate, l’incontro del circolo 
della zona A', conjugata con una di queste faccie a’, e del circolo della zona A, darà 
(!) Vedi per l'applicazione di questo teorema ai sistemi romboedrico, dimetrico e monometrico 
la Nota II $ 71. 
