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da una delle faccie coordinate appartenenti alla zona policonjugata potremo sempre 
trovare una faccia della stessa zona tale che tagli i due assi posti nel piano di essa 
a distanze stanti fra loro in un rapporto che dipende dalla divisione tetragonale, tri- 
gonale o esagonale della circonferenza della zona policonjugata- 
Teoremi dipendenti dall’ ipotesi della sovrapposizione o simmetria. 
$ 39. Teorema XVI. — Tu una zona policonjugata nella quale si verifichi la legge 
della sovrapposizione o simmetria sono compatibili fra loro le suddivisioni dovute a 
2,3, 0 6 piani equidistanti e quelle dovute a 2 o 4 piani equidistanti. 
Infatti si prendano tre assi, come si è indicato al $ 31, e siano a di para- 
metri geometrici così determinati nel piano di zona. Si avrà 
s RI! 1) 3 
1° per i piani distanti di 90° vr tang. 90° = 00 
2° » » 60° n = tang. 60° = Vg. 
@ 
SO » » 45° D = lang. AO = 
o ) Civil tana. 30° = all 
4 » » 30 ma = g. => Va 
I rapporti di questi rapporti devono essere razionali perchè sia verificata la legge 
degli indici. Si vede che ciò avviene combinando I° i rapporti 1° e 8°, II° i rapporti 
1020007402 
Corollario. Risulta dal $ precedente che la divisione in parti eguali (cioè in 
angoli diedri eguali) della zona si divide in due casi distinti, cioè: 
1° divisione in otto angoli diedri eguali determinati da quattro piani facienti fra 
loro angoli di 45° o di multipli di 45°; 
2° divisione in dodici angoli diedri eguali determinati da sei piani facienti fra 
loro angoli di 30° o di multipli di 30°. 
In quello che segue si considererà quindi la simmetria tetragonale e esagonale, 
riguardando la trigonale come derivabile dall’esagonale. 
$ 40. Teorema XVII. — In una zona policonjugata sono separatamente com- 
patibili con la legge degli indici 1° una infinità di sistemi di piani con simmetria 
tetragonale 2° una infinità di sistemi di piani con simmetria esagonale. 
1° Prendiamo un sistema di assi come nel $ 31. Sia (001) il simbolo della 
faccia conjugata con la zona policonjugata e (100) (010) i simboli delle due faccie 
di questa zona, conjugate fra loro e appartenenti al sistema di piani che danno la 
simmetria tetragonale. A questo gruppo apparterrà pure la faccia (110) che determina, 
nel piano della zona policonjugata, parametri eguali. 
Ora a ogni faccia (A k 0) corrispondono due faccie (/' &' 0) (4° k” 0) che ne distano 
di 45°. 
Infatti se in un sistema ortogonale, di cui siano parametri @,d,c, è data una 
