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come tre quantità a, 6, c, razionali. Ora si tratta di trovare i più piccoli valori coi quali 
si può esprimere a,b, c, e perciò basta risolvere i problemi seguenti. 
Problema I. — Trovare la più piccola frazione che rappresenta con una data 
approssimazione una data quantità. 
Problema II — Dati i limiti fra cui è compresa una data quantità trovare la 
più piccola frazione che può rappresentarla con una data approssimazione. 
Problema ILI.— Date due frazioni, a denominatore diseguale trovare le due frazioni 
più piccole a denominatore eguale che ne differiscono mono di una data quantità. 
Alla risoluzione di questi problemi servono i seguenti teoremi: 
$ 59. Teorema I — La più piccola frazione che rappresenta con una data 
approssimazione una data quantita è fornita dalla più piccola delle ridotte che si 
ottengono svolgendo in frazione continua la quantità data, e tale che l’inverso del qua- 
drato del suo denominatore sia minore dell’approssimazione richiesta ('). 
S 60. Teorema II — La frazione razionale a denominatore minimo compresa fra 
due numeri dati si ottiene prendendo la frazione a denominatore più piccolo fra le 
due frazioni convergenti intermediarie immediatamente successive alle due prime 
ridotte differenti ottenute dallo sviluppo in frazione continua dei due numeri dati (°). 
$ 61. Teorema III. — Dati due numeri,compresi ciascuno fra limiti dati, si otten- 
gono le più piccole frazioni a denominatore eguale che li rappresentano con una data 
approssimazione, esprimendo graficamente i due numeri dati e cercando per ciascuno 
di essi, col teorema precedente, le frazioni a denominatore più piccolo che li rappre- 
sentano; quindi si guarda se all’ordinata corrispondente al denominatore maggiore 
corrisponde una frazione razionale compresa fra i limiti dell’altro numero, 0, se ciò non 
è, si cerca la più piccola ordinata positiva maggiore di quella del denominatore 
maggiore a cui corrispondono frazioni comprese graficamente fra i due limiti di cia- 
scuno dei due numeri dati (°). 
$S 62. Prima di fare alcune applicazioni di questi teoremi al calcolo numerico 
degli elementi che carattarizzano i sistemi cristallini faremo alcune osservazioni. È noto 
in primo luogo che questi elementi hanno un medesimo determinato valore quando 
i corpi cui sì riferiscono hanno assunto forme cristalline in determinate circostanze. 
Ricorderemo ancora che i cristalli di una specie mineralogica presentano variazioni 
dovute alle condizioni fisiche in cui si sono formati, alla presenza di sostanze meccanica- 
mente mescolate e alla varia proporzione degli elementi in generale isomorfi che vi 
si sostituiscuno reciprocamente. Siccome peraltro queste perturbazioni inducono in 
generale negli angoli variazioni assai piccole di fronte al valore degli angoli stessi, 
così, nello stato attuale della scienza si danno nei trattati gli angoli caratteristici di 
una data sostanza, facendo astrazione da queste perturbazioni, ossia riguardando 
esatti nel loro valore i gradi ed i minuti; ed è solo quando si ha un materiale 
sufficientemente perfetto di una sostanza in modo da poterlo supporre formato in iden- 
tiche condizioni, che si:può spingere l’approssimazione più oltre. 
$S 63. Nelle linee che seguono trattando delle approssimazioni delle formule, non 
intendiamo darne una teoria completa ciò che porterebbe troppo in lungo. Si noterà 
(') Vedi Teoria delle frazioni continue. — (2) Vedi Nota IV S 79. — (*) Vedi Nota IV S 80. 
