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Si trova p__ 864 Spaton 295 
n 800 GG 80 
ci _ 8339 gi _ SII 
| az 1488. DTS 
Quindi 
h':k':0::8001+295h:800k: 800. — 864 h 
wu i0 8: 8640 — 800 v : 1159 y : 295 w — 800% 
COS (h1 ki, Vi) (Na k'g l'a) == 
SE 8339 hi hg + 3180 ki ka == 1488 Va Vo ; 
V8339 #12 + 3180 i? + 1488 1? \V/8339 l'a + 3180 k* + 1488 1»? 
Per l’applicazione di questa formula e di quella analoga che dà il coseno del- 
l'angolo di due zone, vedi la mia Memoria sullo Zircone della spiaggia tirrena. 
Si noti che è inutile prendere per lunghezza degli assi cristallografici quella degli 
assi ottici, ossia tre quantità proporzionali agl’ inversi degli indici di refrazione ; ciò 
renderebbe più complicati i calcoli senz’ altro vantaggio, essendo solo utile di cono- 
scere la direzione relativa di certi piani ma non le grandezze assolute dei segmenti 
da loro intercetti. i 
NOTE 
TR 
Sui valori che può avere un angolo quando è parte aliquota 
della circonferenza e il quadrato del suo coseno è razionale. 
$ 69. Teorema. — Cos 2a€e cos? a sono contemporaneamente razionali o irrazionali. 
Infatti si ha: 
3 1+cos2a 
(a) COSE ir OÙ dif 
È Ri Rao Pers È 
Teorema ('). — I valori possibili di cos 2 &, essendo @ = a , m intero e cos 2 & 
razionale, sono 
1 
ORI 5 
Infatti si ponga: 
2kn ì 2krn 4 
(0) = 009 — > da (c) fe=ta=— 
A questo valore di 8 corrisponderà, ponendo nella (0) X = 2, un valore di z. Ma 
questo è appunto un valore che corrisponde a una delle m radici dell’equazione 
(4) 3" 10 
che si hanno dando a % gli m valori 1, 2,8... m. 
(') Dopo aver dimostrato questo teorema ho potuto avere una copia incompleta della rarissima 
Memoria del Gadolin, citata in principio, ove è (Nota B) una dimostrazione diversa del teorema medesimo. 
