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e ponendo 
(d) m=fh—ek , n=kp—-hq 
Id LÀ ld 
pig:ir:::ne+mh:nf+mk:ng+wml 
ove i valori di me n sono dalle (d) e di quelli di #4 dalle (c) essendo wv w dati 
dalle (0). 
III. 
Risoluzione in numeri interi di aleune equazioni indeterminate 
di secondo grado. Applicazione al sistema monometrico. 
1. 
(a) ut+ = t? 
S 72. La soluzione di questa equazione in numeri interi attribuita sovente a 
Eulero trovasi nell’Algebra di Brahmegupta ('). Fra gli autori che più recentemente se 
ne occuparono ricorderemo il Du Hays (*) e l’Hopkins (*). 
Il primo ha dato un quadro delle soluzioni più semplici ed ha dimostrato che 
il numero di quelle cui può appartenere un medesimo intero t cresce col crescere di 
questo, in modo determinato. Così un numero t non superiore a 60 non può appar- 
tenere a due soluzioni dell'equazione data. 
Osservazione. — Ricordiamo che il quadrato di un numero pari ha la forma 
4n, e di un numero dispari 8 n + 1. 
Corollario. — Si deduce da questa osservazione che t deve essere sempre dispari, 
e xey uno pari e l’altro dispari. 
11. 
(6) u+v= 31 
$S 73. Coll'osservazione precedente si dimostra l'impossibilità di questa equazione. 
111. 
2 
(c) utt vv + wo = t 
$S 74. Coll’osservazione del $ 72 si dimostra facilmente che t deve essere sempre 
dispari, e che dei tre numeri wvw due devono essere pari ed uno dispari. L’Eulero, il 
Legendre e il Gauss si sono lungamente occupati, come è noto, delle proprietà dei 
numeri triangolari, ossia decomponibili nella somma di tre quadrati, ma non parti- 
colarmente del caso in cui il numero dato fosse un quadrato, ciò che corrisponde 
a risolvere in numeri interi la equazione data. 
(!) Chasles M. Apereu Mistorique ete. Paris 1875, p. 426, 441. 
(2) Du Hays. De la résolution de l'équation aa +b=y? etc. et de l'ordre à suivre dans la réso- 
lution de Vequation a? -+y?=z3? — Journ. de Math. de Liouville VII (1842). 325. 
(8) Hopkins G. H. Solution of question 3200 — Educational Times XVI. 46. 
