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Sostituendo e facendo varie trasformazioni si ottiene, trascurando un fattor comune: 
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IV. 
Teoremi sulle frazioni continue. 
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$ 79. Teorema. — La frazione razionale a denominatore minimo compresa fra due 
numeri dati sì ottiene prendendo la frazione a denominatore più piccolo fra le due fra- 
zioni convergenti intermediarie immediata- 
mente successive alle due prime ridotte diffe- 
renti ottenute dallo sviluppo in frazioni con- 
,. tinue dei due numeri dati. 
Dimostrazione I. — Si osservi in primo 
luogo che si può rappresentare graficamente 
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i E ara ALOE 
se nel piano una frazione to) e le sue ridotte d, 
= Gite er-= n 
LE con una retta riferita a un sistema di assi orto- 
X gonali, prendendo per ascisse i denominatori e 
per ordinate i numeratori della frazione e delle sue ridotte; quindi essendo S, il 
punto di coordinate P,, Q,, la frazione È sarà la tangente dell’ angolo S, 0 X. 
LC 
Dalla teoria delle frazioni continue si ha d’altra parte che: 
1° le ridotte di posto pari e quelle di posto dispari sono tutte maggiori o 
utte minori della frazione generatrice; 
2° non vi è nessuna frazione, a denominatore più piccolo di quello della ri- 
dotta o della frazione convergente intermediaria, che si approssimi di più alla frazione 
generatrice; 
3° le frazioni intermediarie convergenti sono graficamente rappresentate da 
punti posti sulla retta che unisce i punti relativi a due ridotte consecutive di 
stesso posto. 
Infatti dalle relazioni, 
me Bb= Bud Py EVO be 0 
qualunque sia &, cioè qualunque sia la frazione ecnvergente intermediaria che si 
considera, si deduce, eliminando &, l’equazione della medesima retta, cioè: 
Erga 1 
(a) Gp Va Un Ou 
4° Ja retta che unisce l’origine al punto S,_1 è parallela alla retta che uni- 
sce ì punti S,_9 e Sn 
