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Infatti la retta (a) passa per i punti S,_ e S, ed ha lo stesso coefficiente an- 
golare che la retta che passa per l’origine e per il punto S,_1. 
Supponiamo ora che l’ultima ridotta comune a due numeri sia quella di ordine 
n — 1, ed appartenga al limite inferiore. Nessun punto corrispondente a una ridotta, 0 
frazione convergente intermediaria, potrà trovarsi nell’angolo A' 0 A”, essendo A' 0 X 
e A" 0 X gli angoli corrispondenti al limite superiore e al limite inferiore. Infatti 
se ciò avvenisse dovrebbero due ridotte consecutive essere ambedue maggiori o mi- 
nori della frazione generatrice, ciò che è impossibile, e quindi non possono trovarvisi 
frazioni intermediarie perchè esse sono situate su rette: che uniscono i punti cor- 
rispondenti alle ridotte. 
Siano ora S, S°, le due prime ridotte differenti, S',, appartenendo al limite supe- 
riore e S", al limite inferiore. 
In primo luogo i punti S,_a Sh, S', devono trovarsi sulla medesima linea retta, 
poichè devono trovarsi sopra rette che sono parallelle alla retta 0 S,_,, e che devono 
passare per il punto S,-. 
In secondo luogo, se si considera le due ridotte S',-1 S,+, del limite supe- 
riore, dico che la retta S', S", è interna alla retta S', S',+. rispetto all’ asse 
delle x; infatti si ha: 
St Sn+o parallela a 091, Suo Sh parallela a 08,1 e Shn:10X > Sn_10X 
Finalmente in causa della proposizione 2° il punto S", non può trovarsi nel 
quadrilatero S,_1 Sn S'n+a Shti- 
Quindi il punto indicante la frazione convergente più semplice, dovendo essere 
compreso fra S', e S",, trovarsi sul prolungamento di S,_a S",,, ed appartenere allo 
sviluppo in frazione continua dei due numeri dati, sarà quello definito dalla frazione, 
a (nasa ESA e 
OA ese og Coda 
Ossia dovrà anche trovarsi sulla retta S,_1 Sh+1 e quindi sarà l’incontro e 
della retta Sio Sh 9% colla::retta Sia Sha 
Si vede quindi che se l’ultima ridotta comune ai due limiti appartiene alla 
serie inferiore, si preode la prima frazione convergente successiva alla prima ridotta 
differente dello sviluppo del limite superiore. 
Si vede inoltre che si avrebbe una frazione a denominatore maggiore se si pren- 
desse la prima frazione convergente successiva alla prima ridotta differente dello svi- 
luppo in frazione continua del limite inferiore. 
Mutatis mutandis si farebbe analoga osservazione se l’ultima ridotta comune ai 
due limiti appartenesse alla serie superiore e quindi li conclude il teorema. 
Dimostrazione II. ('). — Siano N; Na N3 . ... ed N, N° N3.... le ridotte 
principali provenienti dallo sviluppo in frazione continua di due numeri qualunque 
N ed N’. Le prime v ridotte siano eguali ciascuna a ciascuna, e siano 
Nega = Nn = Sai o Ab N = 29 
LaT1 200) 
le due ultime ridotte comuni. 
(!) Devo questa dimostrazione, assai più elegante di quella da me dapprima trovata, al Prof. Euge- 
nio Beltrami. Essendo questo teorema assai interessante ho creduto doverle dare ambedue. 
