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I primi v quozienti incompleti sono dunque eguali per N e per N’, ma i due 
seguenti, che diremo q,+1 € 441, sono necessariamente diseguali; talchè, se 9,41 è 
il più grande, si ha dra 
da > Ural 2a IL 
Posto ciò se nella prima delle due espressioni 
Na = (qa Gra # 1) % i LoL Yo1_ Na deri Yo Y 1 
(Qi Qy42 + 1) Lay E Dyt2 DA Qta Dot Dl 
si pone 1 in luogo di q,:a, si ottiene una frazione 
(Qui SE 1) Yo YsA 
(adatti 
la quale è al tempo stesso la prima ridotta intermedia fra N, e N,+., e la (Jo + 1) 
esima ridotta intermedia fra N°,-1 e N',1 (coincidente con N',.. quando g/,4-1= + 1). 
Questa frazione n è compresa fra N ed N' ed è la più semplice fra quelle 
che godono di questa proprietà. 
Infatti, detti ge g' i quozienti completi che seguono ai v quozienti incompleti 
comuni, si ha, per ipotesi 
Mie= 
qd<Zqi ed < gi 
epperò, se nell’espressione 
D, Yo TE YA 
PICS 
si fa variare p con continuità fra g e g', l’espressione stessa varia con continuità fra 
ed N';e poichè il valore p= q,+1 + | è compreso fra q e g', anche il valore di n 
è compreso fra N ed N°. Ogni altra frazione razionale (irriducibile) che sia compresa 
fra N ed N’ si avvicina più di » all’uno od all’altro di questi due limiti, e non 
può quindi essere più semplice della frazione n, la quale è una ridotta intermedia 
comune agli sviluppi di N ed N°. 
(È inutile per la sua semplicità considerare il caso di v < 2). 
Sulla risoluzione del Teorema III S 61 
$S 80. Supponiamo di avere trovato, adope- 
rando per esempio un foglio diviso in millimetri 
: È : A Ri 
il punto relativo a una frazione pui fasi trovato 
egualmente il punto relativo a un’ altra fra- 
r 
Il primo è compreso in uno spazio angolare 
a ob. Il secondo sarà compreso in un altro spazio 
angolare d' 0 d'. 
È chiaro che i primi punti del reticolato posti a destra dell’ascissa dei nume- 
ratori delle ridotte che si trovano negli angoli suddetti e che hanno ascissa comune, ma 
più grande del maggiore dei due denominatori delle ridotte, soddisfaranno il problema 
richiesto, di cui non ho trovato nè conosco soluzione diretta. 
