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Intorno ad alcune proposizioni della teoria delle sostituzioni. 
Memoria di GIOVANNI FRATTINI 
approvata per la stampa negli Atti dell’ Accademia 
nella seduta del 3 febbraio 1884. 
Nel Traité des substitutions et des équations algébriques di C. Jordan (lib. II, 
par. 51), vien proposto di classificare i gruppi di sostituzioni secondo il valore e il 
numero dei loro fattori di imprimitività. A siffatta classificazione servirebbe di base 
la costanza di quei fattori. Le riflessioni che qui seguono, mentre addimostrano, ma 
solo incidentalmente ('), che la classificazione immaginata dal ch. autore non con- 
viene a gruppi di qualsivoglia specie, danno nascita ad alcune osservazioni notevoli 
relative all’imprimitività dei gruppi, e queste formano l’oggetto del presente lavoro. 
L’appendice contiene una generalizzazione del Teorema (A) del n. 1 di questa Memoria, 
e, come corollario, alcune riflessioni che riguardano la importante ricerca dei sotto- 
gruppi eccezionali di gruppi dati, ed è in qualche modo indipendente dalle cose che 
precedono. 
1. In una mia Memoria: Z gruppi transitivi di sostituzioni dell’istesso ordine 
e grado (Atti della r. Acc. de’ Lincei 1882-83), si dimostrano i due teoremi seguenti: 
(A). Per ogni sottogruppo di un gruppo regolare in isomorfismo 
oloedrico con un dato gruppo di sostituzioni (ad es. e con egual 
generalità per ognisottogruppo delgruppo potenziale diun gruppo 
dato) (°), gli elementi del gruppo regolare congiunto (del gruppo 
antipotenziale del gruppo dato), si distribuiscono insistemidiim- 
primitività del gruppo congiunto medesimo, costituiti dai pe- 
riodi (*), del gruppo regolare, relativi al sottogruppo. E viceversa: 
Ad ogni distribuzione degli elementi del gruppo regolare in iso- 
morfismo col gruppo dato, in sistemi d’imprimitività del gruppo 
congiunto, corrisponde unsottogruppo del gruppo dato, i periodi 
(') Da che la proposizione dei fattori d’imprimitività, insieme a qualche altra, fu già ripudiata 
dall'illustre autore in una Nota inserita nel Giornale di Matematiche ad uso degli studenti delle 
Università italiane (Vol. X, p. 116). 
(£) Quanto ai nomi « gruppo potenziale od antipotenziale » di un gruppo dato, si può vedere 
la mia Memoria sopra citata. 
(*) Ad ogni sottogruppo (9) di un gruppo dato, corrisponde un sottogruppo (9) del gruppo 
regolare isomorfo al dato. I varî sistemi di intransitività di (9°), sono i periodi del gruppo regolare, 
relativi a (g) ovvero a (9). (Veggasi la mia Mem.) 
