— 00. 
Riunendo insieme quelle coppie di elementi della seconda ripartizione le quali hanno 
elementi comuni con i sistemi della prima, otterremo i sistemi: 
(1,3, 2,6); (1,3,4,5); (2,6,4,5); 
i quali sono fra loro diseguali ma dotati di elementi comuni, e non offrono per con- 
seguenza una vera (') ripartizione in sistemi, degli elementi fondamentali. 
5. Dimostreremo pertanto che, quando si sia certi in qualche modo 
che l'operazione di sintesi immaginata dal Jordan conduca avere 
e proprie ripartizioni degli elementi di un gruppo transitivo im - 
primitivo in sistemi di imprimitività, si può anche essercerti del- 
l’esistenza dei fattori d’imprimitività del gruppo medesimo (°). 
Immaginiamo adunque, nell’ipotesi ammessa, una serie E, Xi, Za, ... di ripar- 
tizioni del sistema E delle lettere del gruppo G in sistemi di imprimitività, e sup- 
poniamo che i sistemi E, S1, Sa,.. facciano parte ordinatamente di E, X1, X2,.. 
che ciascuno di essi sia contenuto nel precedente e sia massimo fra quanti soddi- 
sfano a questa condizione, vale a dire che non esista alcuna ripartizione delle Jettere in 
sistemi, così fatta, che un sistema della ripartizione contenga Sa, e sia contenuto in Sx_1. 
Sia poi: E, X, Xo,... un’ altra serie di ripartizioni del sistema E, e siano : $1, Sy ...sistemi 
di X;", XZg,.. ordinatamente, soggiacenti alle condizioni già imposte ad Si, Sa,.... 
Sia finalmente T; il sistema delle lettere comuni ad Sj e ad St. Sarà T (4) si- 
stema di una ripartizione, ed i sistemi S ed S, saranno composti ambedue di si- 
stemi T di quest’altima (*). Il numero delle lettere dei sistemi T (posto che _ : = 
indichino il numero delle lettere di Sj e di S), è dato intanto da a. Sia infatti 
; Not ; O VIE STR 3 
x il numero delle lettere dei sistemi T. Sarà Tor il numero dei sistemi T che com- 
pongono Sy. Siffatti sistemi che diremo T,,, appartengono ciascuno ad uno dei sin- 
goli sistemi di S',. Infatti è evidente che ciascuno dei sistemi di X', non può conte- 
nere che un sistema T,, al più, unico essendo il sistema I° comune ad Sj e ad S'. 
Se poi taluno dei sistemi di Yy' fosse privo di sistemi T,,, riunendo insieme quei 
(') Posto: A, ==(1,3,2,6): A, = (1,3,4,5): As = (2, 6, 4,5): si può dire che alla sostita- 
zione 1 del nostro gruppo corrisponde la sostituzione 1 fra le lettere A,, A., Ag, che alla sostitu- 
zione (12) (36) (45) corrisponde (A,, A), alla sostituzione (183) (25) (46) la (A,, A,),e così: (A,, 43), 
(A,, Ag, Ag), (A, Ag. Ao); alle sostituzioni: (14) (26) (45); (156) (234); (165) (243); ossia, che i si- 
stemi A,, As, Az sono permutati dalle successive sostituzioni del dato gruppo, siccome è indicato 
dalle sostituzioni: 1,,(A,,A3), ecc. Ma questo fatto non basta a stabilire l’imprimitività del gruppo 
dato, perchè, come si disse, i sistemi A,, A,, Az non ripartiscono gli elementi del gruppo. 
(£) A vero dire, ciò si dovrebbe rilevare dalla dimostrazione del teorema dei fattori d’impri- 
mitività data da Jordan, la quale credo soltanto infirmata dalla inesistenza della supposizione che 
qui si fa. Ho stimato tuttavia opportuno esporre una meno complicata dimostrazione di quel teorema. 
L’'orditura della nuova dimostrazione mi fu poi suggerita dalla lettura del teorema dei fattori di 
composizione nella Subslilutioneniheorie di E. Netto. 
(*) Stante la transitività del gruppo G è facile dimostrare che se un sistema relativo a una certa 
ripartizione fa parte di altro sistema relativo ad altra ripartizione, i sistemi di questa seconda ripar- 
tizione sono composti di sistemi della prima. E neppure occorre qui dimostrare che i sistemi di ogni 
ripartizione, contengono elementi in egual numero. 
