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soli fra i sistemi di Sy i quali avessero elementi comuni con S1, si formerebbe un 
sistema contenuto in E ('), contenente S', e relativo anch'esso a ripartizione degli 
elementi in sistemi di imprimitività. 
Perchè adunque i sistemi T,,, appartengono ciascuno ad uno dei singoli sistemi 
di Y/,, il loro numero sarà #'. Avremo adunque: E n, ossia: € = DIA 
nX nn 
Il sistema T, è inoltre massimo fra quelli che appartenendo a ripartizioni sono 
contenuti in Sj o in Sy. Si imagini infatti un sistema K relativo a ripartizione e 
contenente T,. Esso sarà composto di sistemi T. Se cotal sistema fosse contenuto 
in S,, il sistema Sy sarebbe composto di sistemi della nuova ripartizione e. questi 
alla lor volta di più d’un sistema T. Raccogliendo allora i sistemi di X", aventi ele- 
menti comuni con K, si formerebbe un sistema relativo a ripartizione, contenente S" 
e contenuto in E. Ora quest’ultimo non coinciderebbe con E, perchè K essendo mi- 
nore di S,, non conterrebbe tutti i sistemi T dei quali consta S,, i quali si ritro- 
vano ciascuno in uno dei sistemi che compongono S',. 
6. Siano adunque: 
(1) L s P_ gcc.; 
; ni na 
(2) 4 "n 3 Tu €6C.; 
i numeri rispettivi di lettere dei sistemi: 
(1') E, Si, Sa, ecc.; 
(2) E; S1, Ss ecc.; 
e perciò: n1, na, eCC.; 1, n, ece.; i quozienti delle divisioni degli ordini (numeri 
delle lettere) dei sistemi (1') o (2') per quelli dei sistemi ad essi subordinati. Saranno: 
oe : 
(3) &, — =; 000; 
n Mai 
(4) 1, do a ecc.; 
gli ordini rispettivi dei sistemi delle due serie: 
(3°) E, S1, T1 ecc.; 
(4°) E, Si, Ti ece. 
Ora, le serie (3) e (4) danno origine alla medesima serie di quozienti. Se adunque 
si potrà dimostrare che le serie (1) e (3) offrono i medesimi quozienti, e che la stessa 
cosa avviene rispetto alle serie (2) e (4), il teorema dei fattori d’imprimitività con- 
sistente nell’eguaglianza delle serie di quozienti relativi ad (1) e a (2) rimarrà sta- 
bilito. A tale ridotto il problema della dimostrazione, esso può dirsi semplificato, 
poichè le serie (1°) e (3') come ancora le serie (2') e (4) sono eguali ne’ primi due 
(') Per dimostrare, indipendentemente dall’ essere E il sistema totale delle lettere, che il si- 
stema in questione, sarebbe contenuto in E, basterebbe dire: Essendo S', (sistema di ripartizione) 
contenuto in E (sistema di altra ripartizione), il sistema E è composto di sistemi di 2",. Adunque, 
poichè S, è anch'esso in E, i sistemi di x", aventi elementi comuni con S,, saranno tutti conte- 
nuti in E. Questa osservazione servirà nel seguito della dimostrazione, quando, a parità di altre cir- 
costanze il sistema che surroga E non conterrà tutte le lettere. 
