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Sistemi anzichè nel primo soltanto. In simil guisa l'uguaglianza delle serie dei quo- 
zienti relativi ad (1°) e (3°) o alle serie (2°) e (4) può ridursi mediante la consi- 
derazione del sistema degli elementi comuni ad Sg e T ovvero ad Sa e a T1, alla 
dimostrazione di siffatta eguaglianza per coppie di serie fra loro eguali nei primi tre 
eruppi, e c. s. 
7. In un esempio precedente si vide che considerando le due ripartizioni: 
1,2—3,5 — 4,6; 13 —2,6— 4,5 
degli elementi 1, 2, 3, 4, 5, 6 in sistemi di imprimitività del gruppo transitivo : 
1, (12)(36)(45), (13)(25)(46), (14)(26)(35), (156)(234), (165)(243), 
non si sarebbe ottenuta una vera e propria ripartizione riunendo le coppie di elementi 
della seconda ripartizione aventi elementi comuni coi sistemi della prima. Ma non così 
avverrebbe se si partisse dalle ripartizioni: 
1,5,6 — 2,3,4;1,2— 3,5 — 4,6, 
perocchè in tal caso si ritroverebbe la ripartizione fondamentale: 1,2, 3, 4, 5, 6. 
Ora, riflettendo che il sopra scritto gruppo è il gruppo potenziale dell’altro : 
Q,=1, = (ab), & = (00), Wi,= (be), = (abc), ooj= (@cb) 
e che i sistemi: 
1,9,6 — 2,3,4; ,2—3,5 — 4,6 
sono i periodi del gruppo congiunto al primo, relativi ai sottogruppi: (01, 8, 9): 
(9,, 82) del gruppo delle 9, si concluderà in grazia del teorema (A) (1) che alla ri- 
partizione derivata: 1, 2, 3, 4, 5, 6, corrisponderà un gruppo contenuto nel gruppo 
dato (nel caso nostro il gruppo dato medesimo), derivato dai due sottogruppi : 
(01, 9» de)» (01, do). 
8. Ora vogliamo risolvere la seguente questione: 
Siano: 
Sn Sa, Sy co 0000 IST S1 So, S'3. da Sa 
i periodi di due ripartizioni in sistemi di imprimitività degli 
elementi del gruppo antipotenziale di Gu. 
Posto: u1=mn= mn, siano: 
Vir Jc Va Yi Ya. Tn 
le sostituzioni di quei sottogruppi di Gui quali ammettono quelli 
delle ripartizioni (S) ed (S'), come periodi potenziali. Quali sa- 
ranno le condizioni necessarie e sufficienti affinchè sia pos- 
sibile una ripartizione in sistemi degli elementi del gruppo po- 
tenziale di Ge, la quale possa ottenersi col riunire insieme i si- 
stemi S' dotati di elementi comuni ai singoli sistemi S? Chiamiamo 
per brevità di linguaggio (S, S') la spartizione derivata dalle spartizioni (S) ed (S'), 
e riflettiamo. che la condizione necessaria e sufficiente alla possibilità della sparti- 
zione (S, S'), si può esprimere come segue: 
Scelti ad arbitrio due elementi o e o’ di un medesimo sistema S', se si consi- 
derano i sistemi S, ed S, ai quali i suddetti elementi appartengono rispettivamente, 
e si riuniscano insieme tutti quei sistemi S', che hanno elementi comuni con S, € 
con S,, si dovranno ottenere due serie di indici identiche, dacchè posseggono entrambe 
il medesimo sistema S,. Siano dunque M ed M' quelle sostituzioni del gruppo Gg 
