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Soy = "ya er, si può inversamente dedurre, che ogni sostituzione di uno dei due 
quadri (m), (m), appartiene all’altro, quando il prodotto M7!M' equivalga ad una 
sostituzione del gruppo delle y. L'identità dei due complessi di orizzontali distinte 
dei due quadri, rimane così stabilita. 
Definizione. Se fra le sostituzioni di due gruppi (7) e (Y') si possa, quali si 
sieno « e {3 stabilire una eguaglianza della forma: Tap = Yyaff ì due gruppi si 
dicono fra loro permutabili ('). Adunque: 
Affinchè la ripartizione (S, S') sia possibile, è necessario e 
sufficiente che i gruppi (y) e (Y) corrispondenti alleripartizioni 
(S) ed (S'), siano fra loro permutabili. 
Corollarii. 1°. Se è possibile la ripartizione (S, S'), lo sarà al- 
tresì la ripartizione (S', S), e viceversa. 
2°. Se trasformando le sostituzioni del gruppo delle y per 
mezzo delle sostituzioni del gruppo delle y si pervenga costan- 
temente a sostituzioni del gruppo delle y, i simboli (S, S'), (9, S) 
corrisponderanno a ripartizioni. Infatti si avrà, quali si sieno @ e f: 
Val8 = Yoya 
I due gruppi (Y) e (Y°) saranno adunque fra loro permutabili. 
10. Osservazione. La condizione testè trovata, dimostra che, sebbene i simboli 
(S, S'), (S S) siano suscettibili di varî significati perchè il gruppo regolare iso- 
morfo ad un gruppo contenente il gruppo delle y e quello delle y' è indeterminato, pur 
nondimeno, i simboli: (S, S'), (S, S), corrispondono sempre o non corrispondono 
mai a ripartizioni, secondo che i gruppi (7) e (Y°) siano o no fra loro permutabili. 
La possibilità di un significato dei simboli (S, S), (S, S) è adun- 
que invariantiva per i gruppi (y) e (Y). Quanto poi al gruppo che cor- 
risponde alla ripartizione (S, S°) e a quello che corrisponde alla (S', S) si può 
dimostrare che essi sono identici in grazia del seguente: 
Teorema. Le ripartizioni (S, S'), (5, S) corrispondono ad un mede- 
simo gruppo che è il gruppo che si ottiene combinando fra loro i 
gruppi y e y. 
In virtù della relazione: yey = y£,Y4,, un prodotto qualsivoglia di sostituzioni 
del gruppo (Y) e di sostituzioni del gruppo (y'), sarà evidentemente riducibile alla 
forma: y,.y,- Il gruppo, nascente dalla combinazione del gruppo delle y con quello 
delle y, sarà adunque composto di quelle, e di quelle soltanto fra le sostituzioni: 
Ù I I 
YViY is YIY 29 00. YiY no 
I r RISCHIA 
VaY tr Var: eee Ya 
Ù Ù rr 
Vai: YaVa,: ce 00 Ya no 
le quali siano fra loro distinte. Ora, detto 9 il numero delle sostituzioni comuni ai 
gruppi (7) e (Y'), è facile concludere che le sostituzioni del sopra scritto schema 
(') Serret, Cours d’Algèbre supérieure. Sect. IV, Ch. II, 427, 
