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Corollario. La ripartizione (S,S')è identica all’altra(S, S), esiste 
cioè l'eguaglianza: (S, S)= (8, S). 
12. Proponiamoci in secondo luogo un’ altra questione, subordinata alla già ri- 
solta, e che ‘si può formulare come segue: Qual'è la condizione necessaria 
e sufficiente alla quale dovranno soggiacere le sostituzioni di un 
gruppo G, se ai sistemi di imprimitività del gruppo regolare in 
isomorfismo oloedrico con G, si possa applicare incondizionata- 
mente la operazione di sintesi del Jordan? 
Evidentemente i sottogruppi di G dovranno essere fra ioro permutabili a due 
a due. Dette adunque sa; sc, due sostituzioni qualisivogliano del gruppo G, sarà pos- 
sibile un’ eguaglianza della forma: 
ss. SB= sp. Sal, 
e ciò in grazia dei gruppi composti delle potenze di s, e di quelle di sg. Viceversa, 
se due arbitrarie sostituzioni di un gruppo G siano fra loro vincolate dalla precedente 
relazione, due sottogruppi arbitrarî di G saranno fra loro permutabili. Infatti, se le 
sostituzioni s ed s' vengano tolte rispettivamente dai sottogruppi L ed L', e sia sod- 
disfatta la relazione: ss' = ss, poichè s' ed s" appartengono ad L' e ad L ri- 
spettivamente, le sostituzioni s ed s' soddisferanno alla condizione di permutabilità 
dei gruppi L ed L'. E così: 
Nei gruppi regolari le sostituzioni dei quali considerate a due 
a due soddisfano alla condizione: Sa 5g == Sgh 8,3 e in questi sol- 
tanto fra i gruppi regolari, si può da ogni coppia di ripartizioni 
degli elementi in sistemi d’imprimitività, derivare mediante 
l'operazione di sintesi una nuova e più generale ripartizione in 
sistemi d’imprimitività, degli elementi dei gruppi medesimi. 
Da ciò che si disse nei numeri 8, 9, 12 si deducono poi i seguenti teoremi: 
13. I. Detto G un gruppo le sostituzioni del quale, considerate 
a due a due soddisfano a una relazione della forma: sasg = sp” sa, e 
detto G un sottogruppo massimo di G, il quoziente dell’ ordine 
di G per quello di G, sarà necessariamente un numero primo. Po- 
tendosi infatti da ogni coppia di ripartizioni degli elementi del gruppo regolare iso- 
morfo a G, derivare la nota ripartizione sintetica, il gruppo regolare ammetterà i fat- 
tori di imprimitività, e da ciò consegue, come già si vide, che il quoziente dell’ordine 
di G per quello di G”, è un numero primo. 
II. Considerando isottogruppidiungrupporegolare, separiamo 
quelli (P) fra questi i quali sono dotati di una certa proprietà X, 
(y) e a (7). Adunque, quel periodo della ripartizione il quale conterrà un dato sistema S, dovrà con- 
o . . . . . . . . . . 
tenere gli 2 sistemi di Si quali hanno con quel sistema S elementi comuni, da che ogni periodo 
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della nuova ripartizione dev'essere composto di sistemi S e di sistemi S'. Ma gli ni sistemi di S' 
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contengono appunto —— elementi. Ogni sistema della ripartizione relativa al gruppo generato, si 
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potrà adunque ottenere riunendo i periodi di S' aventi elementi comuni cou un periodo di S. 
