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e supponiamo che, conseguenza della proprietà X sia la permuta- 
bilità didue qualisivogliano gruppi separati. Supponiamo inoltre 
che i sistemi di periodi relativi ai gruppi separati, siano sistemi, 
e i soli sistemi d’imprimitività di un medesimo gruppo x. Il 
gruppo X possiederà i fattori d’imprimitività. 
Infatti, stante la permutabilità dei gruppi (P) si potrà operare sinteticamente 
con i sistemi d’imprimitività di £, i quali sono formati da sistemi di periodi re- 
lativi a gruppi (P). Siano inoltre P, e P due gruppi separati di ordini rispettivi: 
a e Massimi fra quelli che sono contenuti nel gruppo regolare e godono 
della proprietà X. Emerge dalla dimostrazione del teorema dei fattori di imprimiti- 
vità pel gruppo S, data antecedentemente, che: 
III.Ilgruppo delle sostituzioni comunia Pea P, è anch'esso 
dotato della proprietà X, è massimo fra i sottogruppi di Pyedi P, 
dotati della proprietà X, e finalmente, il suo ordine eguaglia il 
numero Ie 
nn 
Dal teorema II di questo par. si deduce poi il seguente: 
IV. Peri gruppi A (in generale non regolari) i quali nascono 
da combinazione di gruppi regolari con i loro congiunti, vale il 
teorema dei fattori di imprimitività. 
Siano infatti i gruppi (P) che separiamo dall’interno di un gruppo regolare, i 
gruppi eccezionali del gruppo regolare. Sappiamo (9) che due gruppi, se eccezionali di 
un medesimo gruppo, sono fra loro permutabili. I sistemi di periodi dei gruppi eccezionali 
separati sono poi (veggasi il teorema (8) (1)), i sistemi, e i soli sistemi d’imprimi- 
tività del gruppo A che nasce combinando il gruppo regolare col suo congiunto. La 
nostra proposizione è adunque un caso particolare del precedente teorema II. 
V. Dato un gruppo qualsivoglia G, si supponga che i sistemi 
di periodi deisottogruppi (P)di G, dotati di una proprietà X mercè 
la quale i sottogruppi medesimi siano fra loro permutabili a due 
a due, costituiscano i sistemi di imprimitività di un medesimo 
gruppo £. Si rappresenti iroltre con: 
(ero. deig o daga ale 
una serie (in generale variabile) di sottogruppi (P), tali, che 
ognuno di essi sia massimo sottogruppo del precedente. La serie 
numerica nascente dalla divisione dell’ordine di ognuno dei sot- 
togruppi per quello del successivo, sarà costante, e nel valore e 
nel numero de’suoi termini. È questa una trasformazione del teorema dei 
fattori d’imprimitività valido pel gruppo £, ottenuta mediante il teorema (4) (1). 
Ed in particolare: 
VI. Se G è un gruppo qualsivoglia, e G, G, GP. ..una serie di 
gruppi, tali, che ognuno di essi sia gruppo eccezionale di G, e 
massimo sottogruppo del precedente, dividendo l’ordine di cia- 
scuno dei gruppi della serie per l’ ordine del successivo, si 
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