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ad (a'), sarà adunque dimostrato, se si dimostri la eguaglianza delle due serie rela- 
tive ad (a) e (0) non che di quelle relative ad (a') e a (2'). A tale scopo imite- 
remo il ragionamentò del n. 6. 
16. Altri gruppi dotati di fattori d’imprimitività e conseguenze notevoli. 
Abbiamo giù dimostrato come i gruppi A derivanti da combinazione di gruppi 
regolari con i loro congiunti, o sono primitivi (quando i corrispondenti gruppi rego- 
lari sono semplici), o sono, se imprimitivi, dotati di fattori di imprimitività. Possiamo 
aggiungere che: 
Più generalmente, igruppiderivantida combinazione di gruppi 
Acon gruppi arbitrarî è di sostituzioni fra le lettere deigruppi A 
medesimi, sono,seimprimitivi, dotati dei fattori d’imprimitività. 
Quest'ultima proposizione è una conseguenza del teorema II del par. 13, relativo 
a gruppi i quali ammettono come sistemi d’imprimitività quelli formati dai periodi 
di sottogruppi fra loro permutabili a due a due esistenti in un gruppo regolare. Si 
considerino infatti fra i sistemi di,periodi del gruppo regolare relativi a sottogruppi 
eccezionali del gruppo medesimo, quelli soltanto i periodi dei quali ammettono cia- 
scuna delle sostituzioni del gruppo d, e che potremo chiamare i sistemi (d) di pe- 
riodi. Il gruppo (A, d) generato dal gruppo A e dal gruppo è, permuterà fra loro 
evidentemente i periodi dei singoli sistemi (0). I sistemi (d) di periodi, saranno 
adunque sistemi d’imprimitività del gruppo (A, è). Quest'ultimo ammetterà inoltre 
i soli sistemi (0) di imprimitività. Infatti il gruppo A il quale fa parte di (A, d), am- 
mette come sistemi d’imprimitività i soli sistemi di periodi dei sottogruppi eccezionali 
del gruppo regolare, dei quali, i soli (0) godono della proprietà di ammettere il 
oruppo è di sostituzioni fra i loro periodi. Adunque i sistemi (d) sono sistemi d’im- 
primitività, e i soli sistemi d'imprimitività del sruppo (A, d). Finalmente, i sotto- 
gruppi eccezionali separati per mezzo dei gruppi è, appunto perchè eccezionali, sono fra 
loro permutabili. E perciò, o il gruppo (A, 0) sarà primitivo, se i sistemi (0) si 
riducano ai soli due relativi all’intiero gruppo regolare e al sottogruppo unitario di 
questo, ovvero, il gruppo (A, d) sarà imprimitivo, ma in tal caso ammetterà i fattori 
d’imprimitività. 
17. Ed ora prima di enunciare un corollario che scaturisce dalla dimostrata 
esistenza dei fattori d'imprimitività per i gruppi (A, d), porremo la seguente: 
Definizione. Sia dato un sistema di sottogruppi di un certo gruppo, incluso 
quest’ultimo e il gruppo unitario. Supponiamo che si parta dal gruppo dato, e allo 
scopo di giungere al gruppo unitario, si discenda in qualsivoglia modo per una 
serie di sottogruppi scelti fra i dati, e ciascuno massimo del precedente. Se av- 
venga che, comunque si discenda, i quozienti degli ordini dei successivi gruppi per 
gli ordini di quelli che loro succedono rispettivamente formino una serie costante, 
diremo che il dato sistema di sottogruppi è dotato di fattori. Adunque, rammen- 
tando la corrispondenza univoca fra i sistemi d’imprimitività di un gruppo A, e i sot- 
togruppi eccezionali dei gruppi regolari generatori di A, stabilita dal teorema (8), (1), 
potremo trasformare la proprietà dimostrata per i gruppi (A, d), nel teorema seguente: 
Distaccando dai sottogruppi eccezionali di un gruppo 
