— 500 — 
qualsivoglia('), quelli, i periodi dei quali sono permutati dalle 
sostituzioni di un gruppo arbitrario, si otterrà costantemente un 
complesso di gruppi dotato di fattori. 
Questo teorema che assorbe quello del Jordan e si converte nel medesimo ap- 
pena il gruppo arbitrario si faccia coincidere con la sostituzione identica, o con un 
gruppo di sostituzioni le quali permutino fra loro tutti i periodi di ciascuno dei 
sottogruppi eccezionali del gruppo dato, si può considerare come una generalizzazione 
di ‘quello contenuto nel già citato Traité des substitutions. 
Gruppi dotati di fattori d’imprimitività sono ancora quelli 
che sono generatida gruppi regolari formati da sostituzionia due 
a due permutabili con potenze loro (ad es. da gruppi regolari 
composti di sostituzioni fra loro permutabili a due a due), e da 
arbitrarî gruppi di sostituzioni fra gli elementi dei gruppi re- 
golari medesimi. 
La dimostrazione essendo analoga a quella che stabilisce il teorema dei fattori 
d'imprimitività per i gruppi generati da combinazioni di gruppi arbitrarî con gruppi 
A, può essere omessa. Mediante l’uso del teorema (A) del par. 1, segue poi come 
corollario che: 
Distaccando da un gruppo di sostituzioni a due a due per- 
mutabili con potenze loro, quei sottogruppi, i periodi dei quali 
ammettono un arbitrario gruppo di sostituzioni, si ottiene co- 
stantemente un complesso di gruppi, dotato di fattori. 
18. La ricerca di alcuni gruppi dotati di fattori di imprimitività e i conse- 
guenti corollarî, ebbero fin qui fondamento nella condizione necessaria e sufficiente 
perchè da due ripartizioni degli elementi di un gruppo regolare in sistemi d’im- 
primitività si possa per sintesi addivenire ad una nuova ripartizione. Pertanto ad 
agevolare possibili ricerche o conclusioni analoghe alle precedenti, dedicheremo questo 
paragrafo allo studio della condizione necessaria e sufficiente perchè da due ripar- 
tizioni degli elementi di un gruppo transitivo imprimitivo (regolare o no) in sistemi 
d’ imprimitività, sì possa con l’anzidetta operazione ricavare una nuova ripartizione 
sintetica. 
Chiameremo S ed S' le due ripartizioni date, G il gruppo transitivo imprimi- 
tivo, e continueremo a chiamare periodi di S o di S', i sistemi di elementi compo- 
nenti le orizzontali di S o di S', e premetteremo anzi tutto il seguente: 
Lemma. Se due sottogruppi di G le sostituzioni dei quali siano 
quelle e tutte quelle che non alterano due periodi appartenenti 
ad Se ad Se dotati dielementicomuni, saranno fraloro permutabili, 
lo stesso avverrà di ogni altra coppia di sottogruppi di G, ana- 
loghi ai primi due. 
Infatti, poichè G è transitivo, il numero delle sostituzioni di G le quali ad 
un elemento dato subordinano un altro elemento parimenti dato, sarà costante. 
(') Ricorderemo che, dato un gruppo, esiste un gruppo regolare ad esso isomorfo. La conclu- 
sione è adunque legittima non solo per i gruppi regolari, ma per qualsivoglia gruppo. 
