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Diciamo M questo numero, e y, v' il numero delle lettere onde sono composti i periodi 
di S e di S'. Sarà, My l’ordine di ogni sottogruppo di G il quale non alteri un 
certo periodo di S, ed My' l’ordine di qualunque sottogruppo il quale non alteri 
un periodo di S. Posto ciò, è evidente che se x è uno degli elementi comuni a 
due periodi, l’uno di S, l’altro di S', ed y un elemento comune a due altri periodi, 
i due sottogruppi corrispondenti ad 7, quelli cioè i quali non alterano le due oriz- 
zontali di y, sì potranno ottenere, trasformando i due sottogruppi corrispondenti ad 
mediante una delle sostituzioni di G le quali ad @ subordinano y. E perciò, se i due 
sottogruppi corrispondenti ad x siano fra loro permutabili, lo saranno anche i loro 
derivati mediante quest’ultima sostituzione, vale a dire, i due sottogruppi corrispon- 
denti ad y. 
Teorema. Affinchèdadue ripartizioni deglielementidiungruppo 
transitivo imprimitivo si possa addivenire ad una nuova ripar- 
tizione collegando fra loro i periodi di una ripartizione dotati 
di elementi comuni ai periodi dell’altra, è necessario e suffi- 
ciente che i due sottogruppi del gruppo transitivo corrispondenti 
ad un medesimo elemento, quelli cioè i quali trasformano in sè 
stesse le orizzontali alle quali l'elemento appartiene nelle due 
ripartizioni, siano permutabili fra loro. 
Supponiamo infatti che due orizzontali delle ripartizioni S ed S' abbiano comune 
l'elemento x. Potremo sempre supporre che esse siano le due prime orizzontali, e 
potremo formare due ripartizioni s ed s', corrispondenti ordinatamente ad S e ad S', 
degli elementi del gruppo regolare isomorfo a G ad es. del gruppo potenziale di G, 
nella maniera seguente: Nella prima orizzontale di s scriveremo i nomi o numeri 
d’ordine delle sostituzioni di G le quali non alterano la prima orizzontale di S. Nella 
seconda orizzontale di s, scriveremo i nomi di quelle le quali subordinano alla prima 
orizzontale la seconda, e c. s. Im modo analogo formeremo lo schema di orizzontali 
corrispondente ad S'. Ciò posto, si sa (') che i due schemi così ottenuti rappresen- 
tano due ripartizioni in sistemi d’ imprimitività degli elementi del gruppo potenziale 
di G. Infatti da ciascuna delle ripartizioni S, S',in tanto si può dedurre un gruppo 
transitivo ed isomorfo a G, fra i nomi delle orizzontali, in quanto una sostituzione 
di G permuta fra loro le orizzontali di S o di S', come la sostituzione potenziale ad 
essa corrispondente permuta fra loro le orizzontali corrispondenti di s o di s'. Inol- 
tre, se due orizzontali delle ripartizioni S ed S' hanno elementi comuni, lo stesso av- 
verrà delle corrispondenti orizzontali di s e di s', e viceversa. Infatti, se un elemento 
y è comune alla, p" orizzontale di S e alla g" di S',i nomi delle sostituzioni di 
G le quali ad x (elemento comune alle due prime orizzontali) subordinano y, si leg- 
geranno nella p” orizzontale dis e nella g" di s'. Viceversa, se queste ultime 
avranno un elemento comune, a questo corrisponderà una sostituzione di G la quale 
all’ elemento x subordinerà un elemento che apparterrà tanto alla p"“ orizzontale 
di S quanto alla g"° di S'. È 
Supponiamo ora che i due sottogruppi di G corrispondenti all’ elemento x siano 
(') Frattini, / gruppi lransitivi. Nota. 
