fra loro permutabili. Saranno altresì, per isomorfismo, permutabili fra loro i corri- 
spondenti sottogruppi del gruppo potenziale di G relativi alle due ripartizioni s ed s', 
vale 4 dire quei sottogruppi del gruppo potenziale di G, le sostituzioni dei quali 
hanno per numeri d’ ordine quelli scritti nelle prime orizzontali di se di st. Ad se ad s 
si potrà adunque applicare la nota operazione di sintesi. Ciò vuol dire, che, per ogni pe- 
riodo di s, aggruppando i periodi di s' i quali hanno con quello elementi comuni, due 
qualunque dei sistemi che sì otterranno, o saranno privi di elementi comuni, o coin- 
cideranno in tutti i loro elementi. Ma poichè i numeri d’ordine dei periodi di s' i 
quali hanno elementi comuni con il periodo di s coincidono per le cose già dette 
coi numeri d’ordine dei periodi di S' aventi elementi comuni con il corrispondente 
periodo di S, si fa evidente che i sistemi che dalla nota operazione relativa ad S 
e ad S' sì otterranno, o coincideranno, o saranno privi di elementi comuni. 
Viceversa, se supporremo che alle due ripartizioni S ed S' sia applicabile 1’ ope- 
razione solita, dimostreremo, come precedentemente, che essa è altresì applicabile 
alle due ripartizioni s ed s'. E i due sottogruppi del gruppo potenziale di G cor- 
rispondenti ai primi periodi delle ripartizioni s ed s' saranno fra loro permutabili. Lo 
saranno adunque altresì i due sottogruppi di G che loro corrispondono per isomorfismo. 
Se il gruppo G è regolare, le due ripartizioni (S, S°), (S°, S) le. quali si otten- 
gono collegando i periodi di S' o di S dotati di elementi comuni con i singoli pe- 
riodi di S e di S', sono nell’ istesso tempo possibili entrambe o no. Mmoltre ha luogo 
l'eguaglianza: (S, S) = (S', S), vale a dire, le due ripartizioni coincidono. Il secondo 
di questi teoremi che trae seco il primo come conseguenza, è estensibile al caso di 
un gruppo transitivo qualsivoglia. Essendo infatti: (s,s)==($, s), i due primi pe- 
riodi delle ripartizioni (s, s), (s', s), quelli cioè che contengono i primi periodi di s 
e di s', saranno composti dei medesimi elementi. A questi elementi o indici, corrispon- 
deranno le sostituzioni di un sottogruppo del sruppo potenziale di G. Ed è evidente, 
stante la maniera nella quale le ripartizioni s ed s' furono dedotte dalla S e dalla S', 
che riunendo gli elementi distinti che le sostituzioni di G corrispondenti per isomor- 
fismo a quest’ ultimo sottogruppo, subordinano all’ elemento «, si otterrà un periodo 
comune tanto alla (S, S°) quanto alla (S'°, S). Adunque, poichè il gruppo G è tran- 
sitivo, le due ripartizioni (S, S'), (S°, S) coincideranno per intero. 
Osservazione. Detto 7 il numero degli elementi che possono esser comuni a due 
periodi della S e della S' rispettivamente, il numero degli elementi dei periodi della 
, 
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ripartizione sintetica, sarà evidentemente: — . Il sottogruppo di @ le sostituzioni 
G 
del quale non alterano il primo periodo della ripartizione sintetica, sarà poi il sot- 
togruppo che è generato dai due sottogruppi di G corrispondenti ad x. Omettiamo, 
perchè assai facile, la dimostrazione, e rimandiamo il lettore alla Appendice di questa 
Memoria dalla quale potrà facilmente dedurre, che: Affinchè 1’ operazione 
di sintesi sia applicabile incondizionatamente, è necessario e suf- 
ficiente che due sottogruppi qualisivogliano del gruppo imprimi- 
tivo, intermedii fra quello delle sostituzioni che non ispostano 
un elemento fisso, (del resto arbitrario), e l’intero gruppo, siano 
fra loro permutabili. 
