19. Fu giù osservata l'equivalenza fra il teorema dei fattori d’imprimitività 
d'un gruppo regolare e la proprietà: « Il quoziente della divisione dell’ ordine di 
un sottogruppo del gruppo per quello di un sottogruppo massimo del primo sotto- 
gruppo, è un numero primo ». Si vide ancora che se due sostituzioni arbitrarie del 
gruppo dato sono permutabili con potenze delle sostituzioni medesime; il che equi- 
vale a supporre che da due ripartizioni qualisivogliano degli elementi del gruppo re- 
golare si possa sempre derivare per sintesi una nuova ripartizione, il teorema dei 
fattori sussiste necessariamente. Ed ora a proposito dei gruppi regolari dotati di 
fattori d’ imprimitività, aggiungeremo le seguenti riflessioni: 
Sia G un gruppo regolare dotato di fattori d’imprimitività, sia poi: H=(H,, Ho...H,) 
un sottogruppo di G composto con sostituzioni H, e si consideri un sottogruppo mas- 
simo di H formato con sostituzioni S. 
Se: v=p”. gf. r7... sia Vordine di H decomposto nei suoi fattori primi, si potrà 
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supporre che Sea = p1.qg?.r%... sia I’ ordine del gruppo delle sostituzioni S. Per- 
p 
tanto, il gruppo H conterrà in sè un gruppo d’ordine p°. Taluna delle sostituzioni 
di questo, ad es. la sostituzione A sarà estranea al gruppo delle S, e le sostituzioni: 
iNoRtig  dbelShig o 0 olo oi) 
p 
Ato, APoSpp 0 0 o a ANS 
p 
ACI STERRU S o PASS 
p 
apparterranno tutte al gruppo H, come è evidente. Esse saranno inoltre tutte distinte 
fra loro, e costituiranno perciò, insieme prese, il gruppo H medesimo. 
Che poi le sostituzioni della forma: A“S, siano fra loro diseguali, si dimostra 
nel seguente modo: Posto: A“. S,=A”.$y, seguirebbe: A*— Sy.S,. E poichè 
il numero u—w' è inferiore a p e perciò primo con p“, si potrebbe determinare il 
numero g per modo, che fosse: (u—u)o=1(mod. p"). Ma, ciò fatto, dall’egua- 
glianza ultima si ricaverebbe: A=(Sy.S,7)?, e per ciò la sostituzione A. apparter- 
rebbe al gruppo delle sostituzioni S, la qual cosa è contraria all'ipotesi. 
‘ Adunque: « Essendo G un gruppo regolare con fattori di imprimitività, si potrà 
da un sottogruppo di G far passaggio ad un qualsivoglia gruppo minimo che lo 
contenga e sia contenuto in G, moltiplicando le prime p potenze di una certa so- 
stituzione d’ ordine p* per tutte le sostituzioni del sottogruppo. Segue da ciò che: 
La formola: NEI, oso , 
nella quale A, B, C,.. rappresentano sostituzioni aventi per ordini 
potenze di numeri primi, ed a, £, y,.. esponenti che possono va-, 
riare ciascuno dall’ unità fino a certi numeri primi il prodotto 
dei quali eguaglia l’ ordine di G, dà nascita al gruppo G nel tempo 
istesso che le formole: 
| BARI en 
producono altrettanti sottogruppi dell’istesso G. 
