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Inoltre è evidente che: 
I numeri primi esprimenti i limiti superiori degli esponenti 
a, B, y..... possono succedere l’uno all’altro in qualsivoglia or- 
dine nel quale si possano succedere i fattori di imprimitività del 
gruppo G. 
Della forma: A“. B?.., vanno dotati in particolare i gruppi composti di sosti- 
tuzioni a due a due permutabili con potenze loro, non che i gruppi gli ordini dei 
quali sono potenze di numeri primi ('). 
20. Sia H un sottogruppo massimo di un certo sottogruppo M esistente in un 
gruppo regolare dotato di fattori, e sia K un altro sottogruppo di M. Si supponga 
che l’ordine & di K non divida 1’ ordine & del gruppo H. I due gruppi: H, K, 
saranno fra loro permutabili, ed ammetteranno tante sostituzioni 
comuni, quante ne indica il massimo comun divisore dei loro or- 
dini. Se infatti sia: p°, gr... l’ ordine del gruppo M, e. per. gh.rl... l’ or- 
dine di H, sarà l’ ordine di K (non dividente quello di H), della forma: p.... 
Da ciò segue, che l’ordine del gruppo M eguaglierà il minimo comune multiplo 
degli ordini de’ suoi sottogruppi H e K. Sarà adunque dimostrato il teorema, quando 
sia stabilito che: « Se l'ordine di un gruppo eguagli il minimo comune multiplo 
degli ordini di due sottogruppi del gruppo medesimo, questi saranno fra loro per- 
mutabili, e il numero delle sostituzioni ad essi comuni sarà dato dal massimo comun 
divisore dei loro ordini ». Siano adunque: H= (Hj, Ha,...H,), K=(K,, Ka...K), 
due sottogruppì di M, e 3=(91, 3»; ....93,) il gruppo comune ad H e K. Si sup- 
ponga che l’ordine m del gruppo M sia eguale al minimo comune multiplo dei 
numeri A, 4. Il numero delle sostituzioni della forma H,.K; e distinte fra loro, 
sarà dato (10), da: Li E poichè esse debbono far parte del gruppo M l'ordine 
del quale è per ipotesi: doi s (0 dinota il massimo comun divisore fra h e k), 
9 
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avremo la relazione: 7% 0 E la: 00. 
Ma non potrebbe essere: 0 > 2 perchè @ deve dividere 9. Sarà adunque: @= 8: 
ossia, il numero delle sostituzioni comuni ai due gruppi H e K, sarà eguale al mas- 
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simo comun divisore dei loro ordini. Sarà poi: m== omni E perciò il gruppo M sarà 
composto delle sostituzioni della forma H,.K, fra loro distinte. 
I due gruppi H e K saranno, per conseguenza, fra loro permutabili. 
Corollario. Se le sostituzioni di un gruppo siano a due a due 
permutabilicon potenze delle sostituzioni medesime, due sotto- 
gruppi arbitrarî del gruppo, ammetteranno tante sostituzioni 
comuni quante ne indica il massimo comun divisore dei loro 
(') La forma: A. BY... per questi ultimi gruppi, fu già avvertita dal Capelli nella Memoria : 
Sopra l’ isomorfismo ecc. La presente dimostrazione coincide con quella di questo autore ma riguarda 
evidentemente un caso più generale. 
