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Se il gruppo delle sostituzioni le quali non ispostano un certo elemento sì sup- 
ponga formato dalì’ unica sostituzione identica, il gruppo transitivo sarà regolare, e 
si ritroverà il Teorema (A) del n. 1. 
Corollario. Un sruppo transitivo sarà o no primitivo, secondochè 
il gruppo delle sostituzioni in esso contenute e trasformantiin sè 
medesimo un arbitrario elemento, sarà o no massimo pel gruppo 
transitivo. 
Problema. Riconoscere se un gruppo, dato sotto forma regolare, 
sia semplice o composto. 
In grazia del Teorema (B) del n. 1, il problema si riduce a definire se esistano 
o no nel gruppo A generato dal gruppo regolare e dal congiunto, gruppi intermedî 
fra quello delle sostituzioni le quali non ispostano un certo elemento, e il gruppo A 
medesimo. Siano: 
(t)) Gio. (9) cv 
le sostituzioni del gruppo regolare. Sia inoltre H la sostituzione di second’ ordine i 
cicli della quale sono formati con le coppie di elementi che corrispondono all’ele- 
mento a in coppie di sostituzioni inverse della serie (4). Le sostituzioni distinte 
della serie: i 
I) (Già. (GI o (Ci H)?, 
ne faranno conoscere quel sottogruppo di A che è composto delie sostituzioni le 
quali non ispostano a. Per dimostrar ciò, basterà considerare ciò che avviene quando 
il gruppo (7) sia il gruppo potenziale del gruppo dato. Così ad es. essendo: 
=] ; C,—(14) (26) (85) 
c,=(12) (36) (45); &;=(156)(234) 
Eg= (13) (25) (46); ©&6= (165) (243) 
la forma potenziale del gruppo: 
oil, 9 = (ab), = (ac), da = (de), = (ade), = (ad), 
è noto, che la sostituzione: H=(56), prodotto di tuttii possibili cicli composti con 
gl’indici delle coppie di sostituzioni inverse, trasforma la forma potenziale nell’ an- 
tipotenziale, la quale consta così delle sostituzioni : 
(0) 
= ;  Gy=(14)(25)(36) 
c,=(12)(35) (46); ©s=(165)(234) 
&,=(13)(26)(45); 0 &=(156)(243). 
(6,6) = (614) —=1 ; (€, ©.) = (€, H)°= (23)(56) 
E=(84)(50); (scs) = (CH)}= (243) 
©3H)} = (24) (56); (6) = (© H)° = (234) 
formano così il gruppo di tutte quelle sostituzioni di A le quali non ispostano 
l'elemento 1 (‘). 
(') Quest’ ultimo gruppo si potrà anche ottenere in questo e in tutti i casi assumendo ad una 
ad una tutte le &s della forma potenziale, trasformando con ognuna di esse tutte le &, e formando 
per ogni sostituzione €s, una sostituzione che all’ indice di una ®© qualsivoglia subordini quello della 
trasformata. 
