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Riflettendo ora che la forma potenziale di un gruppo si può ridurre a qualsivo- 
glia altra forma regolare del medesimo identificando l’elemento 1 della forma poten- 
ziale con un elemento arbitrario @ dell'altra forma, e indentificando nel medesimo 
tempo fra loro le coppie di elementi che in sostituzioni corrispondenti delle due 
forme sono subordinati ad 1 e ad « rispettivamente, facilmente ravviseremo, come, 
alla sostituzione formata con cicli che racchiudono le coppie di indici corrispondenti a 
sostituzioni inverse della forma potenziale, (vale a dire le coppie d’indici che corri- 
spondono ad 1 in coppie di sostituzioni inverse di questa forma), verrà identificata 
una sostituzione H di second’ ordine, formata con cicli racchiudenti coppie di ele- 
imenti corrispondenti ad @ in coppie di sostituzioni inverse della forma regolare. E 
come la primitiva sostituzione trasformava il gruppo potenziale nell’ antipotenziale, 
la sostituzione H trasformerà la forma regolare nella congiunta. Finalmente, molti- 
plicando ogni sostituzione della serie (2) per la sostituzione istessa trasformata me- 
diante H, si otterrà quel sottogruppo di A che è composto delle sostituzioni prive 
di a. Ora: 
©, (He, H!)=©,He,H= (6,H)°; 
è adunque vero che la serie (E) rappresenta il gruppo di quelle sostituzioni di A, 
le quali non ispostano a. Dato il gruppo regolare €, si formi adunque il gruppo 
(E) con i quadrati dei prodotti delle sostituzioni del gruppo regolare per la sosti- 
tuzione H. Se l’ordine di (E) sarà minore dell’ordine u del gruppo €, quest’ultimo 
sarà composto. Infatti in tal caso, si avranno uguaglianze della forma: 
(gle = (6213), 
ovvero dell’altra: 
ese, = H6eyse, 1 H, 
d’onde, essendo il primo membro una sostituzione del gruppo € ed il secondo una 
sostituzione del gruppo congiunto a €,<apparisce chiaramente che il gruppo dato ed 
il congiunto ammettono sostituzioni comuni, e che perciò il gruppo dato è composto. 
Se poi p è l'ordine di (E), resta a vedere se combinando il gruppo (E) con una 0 
più sostituzioni di A, sì possa o no pervenire a gruppi intermedî fra il gruppo (E) 
e il gruppo A. La formazione del gruppo A che potrebbe sembrare necessaria a rico- 
noscerne le sostituzioni, sarebbe molto laboriosa. Ce ne potremo tuttavia dispensare 
riflettendo che il gruppo A si può ottenere moltiplicando le singole sostituzioni del 
gruppo (E) per tutte quelle del gruppo €. Infatti, stante la transitività di €, è facile 
riconoscere come, moltiplicando ognuna delle sostituzioni di (E), per tutte quelle di € 
si otterranno dapprima tutte le sostituzioni di A le quali non ispostano @, poi quelle 
che ad a subordinano d, poi quelle che ad @ subordinano c, e c. s. 
La questione circa la composizione del gruppo €, è ora ridotta alla seguente: 
Esistono in & sostituzioni le quali generino con (E) gruppi minori di A? Anzi, poi- 
chè (E) e © non hanno sostituzioni comuni all’infuori dell’unità, alla seguente: Esi- 
stono in & sostituzioni di ordine primo le quali generino con (E) gruppi minori 
di A? Poichè, se un gruppo minore di A può esser generato da (E) e da una sosti- 
tuzione di €, un gruppo minore di A sarà parimenti generato da (E) e da una 
potenza d'ordine primo di quella sostituzione, da che siffatta potenza non appartiene 
ad (E). Possiamo adunque combinare (E) con tutti i gruppi d’ordine primo contenuti 
